GRICE E PADOA Estratto Italia “ «tròta di tllosolla Nao-Soolastioa ftnno 4,' N.‘ UH*, Min 19U _ . , Agmrhù ( } pasc- PA-I- (£=>*=>' r (fà %\ 9 TORINO £ • j ALESSANDRO PADOA professore di matematica nel r. istituto tecnico di Genova Analisi della sillogistica. Il frequente rifiorire, in questa ed in altre riviste filosofiche, di dubbi e persino di polemiche a proposito di sillogismi è indizio della scarsa diffusione che hanno avuto sinora i risultati cui è pervenuta in questo campo la logica matematica ; la quale scarsa diffusione deve probabilmente attribuirsi al nome di tale dottrina (che forse la fa ritenere parte della logica o, peggio ancora, qualche cosa di intermedio fra la logica e la matematica, mentre invece essa è una estensione perfezionata di tutta la logica de¬ duttiva tradizionale) ed alla diffidenza o allo sgomento inspirati, in chi non ha dimestichezza con le formole, dai simboli ideogra¬ fici cui abitualmente si ricorre in tali studi. Ma i risultati cui accennavo si possono esprimere e intendere benissimo servendosi del linguaggio ordinario, come risulteià dalla lettura di questo articolo, nel quale non presuppongo alcuna co¬ noscenza nè di sillogistica nè di ideografia logica. § 1. Ci occuperemo di asserzioni aventi una delle quattro forme : ogni oc è un y, nessun x è un y, qualche x è un y, qualche x non è un y. Nelle applicazioni, al posto di ciascuna delle lettere or ed y si dovrà mettere una parola od una frase che designi compieta- mente un gruppo determinato; ad es., ordinatamente: ogni mammifero è un vertebrato, nessun angolo ottuso è un angolo acuto, qualche italiano è uno scultore, qualche francese non è un pittore. — 387 — ( 2 ) RIVISTA DI FILOSOFIA NEO SCOLASTICA Nella logica tradizionale tali asserzioni chiamansi giudizi e, secondo la loro varia forma, vengon detti ordinatamente uni¬ versali affermativi, universali negativi, particolari affermativi e particolari negativi, ovvero sono brevemente contraddistinti con le vocali A, E, I, 0 ; si dice inoltre che a? ed y sono i termini di ciascuno di tali giudizi e precisamente che a? ne è il soggetto ed y ne è il predicato Ma noi non annetteremo alcuna importanza alla distinzione dei giudizi in affermativi e negativi, considerandola una sem¬ plice accidentalità linguistica. Infatti: se y è un gruppo deter¬ minato e se y' è l’insieme degli individui che non appartengono ad y, allora anche y' è un gruppo determinato ed y è l’insieme degli individui che non appartengono ad y'. E perciò, il fatto che si sia provvisto anzitutto a dare un nome a questo o a quello dei gruppi y e yl, obbligando poi a designar l’altro quale nega¬ zione del primo, può avere importanza nello studio della forma¬ zione e dell’espressione dei concetti; ma non ne ha alcuna per la logica formale. Comunque: « nessun x è un y » sol quando « ogni x è y' », « qualche x non è un y » sol quando « qualche x è un y' » ; e reciprocamente: « ogni x è un y » sol quando « nessun x è un y' ». Osserviamo inoltre che, nella seconda e nella terza forma di giudizio, la distinzione fra soggetto e predicato è una semplice accidentalità grammaticale. Infatti: « nessun x è un y » sol quando « nessun y è un x », « qualche x è un y » sol quando « qualche y è un x ». •< Riassumendo : A = ogni x è un y — nessun x è un y', E = nessun x è un y = nessun y è un x = ogni x è un y', I = qualche x è un y = qualche y è un x, 0 = qualche x non è un y = qualche x è un y’. § 2. Chiamasi sillogismo una proposizione nella quale, dati tre termini (che la logica tradizionale chiama minore, medio, maggiore e designa con le lettere S, M, P), dato un giudizio tra — S38 — 7 ^ & é~— della sillogistica (3) P ovvero tra P ed M (chiamato premessa maggiore) e dato M e . . . trR g e( j m ovvero tra M ed S (chiamato premessa 'minor™* i asserisce legittimamente un giudizio tra S e P (chia- mat °Si'badP quando il logico si serve dei dati accennati per chiu¬ dere un sillogismo, non spetta a lui decidere se ciascuno dei tre termini designi un gruppo determinato, nè se ciascuna delle pre¬ messe sia vera; nè egli asserisce che la conclusione sia vera. Egli di ciò solo si rende garante, che: se le premesse sono en¬ trambe vere (il che presuppone che i termini siano determinati almeno quanto basta perchè abbia senso il dir vere le premesse), allora la conclusione deve esser vera. E perciò, premesse e con¬ clusione formano un tutto inscindibile, cioè una sola proposizione (in senso logico e non grammaticale). La logica tradizionale distingue quattro figure di secondo 1’ ufficio di M: 1) M è soggetto rispetto a P e predicato rispetto ad S, 2) M è sempre predicato, 3Ì M è sempre soggetto, 4) M è predicato rispetto a P e soggetto rispetto ad S. In ciascuna figura distingue vari modi, secondo la forma dei tre giudizi [§ 1] ; ed i modi contraddistingue con nomi mnemonici in ciascuno dei quali entrano appunto tre delle vocali A, E, I, 0 per designare ordinatamente la forma della premessa maggiore, della premessa minore e della conclusione. (*) I modi della prima figura sarebbero 4, della seconda 4, della terza 6, della quarta 5: in tutto 19. Ma qui ci proponiamo di eli¬ minare i modi illegittimi (nei quali cioè la conclusione non è con¬ seguenza necessaria delle premesse) e quelli che sono vane ripeti¬ zioni di modi già considerati (che cioè si possono ricavare da modi già considerati ricorrendo soltanto alle trasformazioni di giudizi indicate nel nostro prospetto [§ 1], le quali sono sempre lecite indipendentemente dal significato dei singoli termini, o cambiando Vordine delle premesse o cambiando il modo di designare i ter¬ mini, mantenendoli però fra loro distinti). Preliminarmente, possiamo osservare che la distinzione delle figure sarà accidentale nei casi in cui sarà accidentale quella fra soggetto e predicato di uno stesso giudizio. Ma, per rendere *) Petrus Hispanus, pontifex sub nomine Johannes XXI (m. 1227). sillogis: ( 4 ) RIVISTA DI FILOSOFIA NEO-SCOLASTICA più chiaro il nostro studio, ciascun modo verrà enunciato nella sua figura, adottando, corrispondentemente a ciascuna vocale, la prima delle forme di giudizio indicate nel nostro prospetto [§ 1]. § 3. Il sillogismo in BARBARA della prima figura [§ 2] è : « se ogni M è un P ed ogni S è un M, ogni S è un P » . (1) Cambiandovi P in P', esso diviene : « se ogni M è un P' ed ogni S è un M, ogni S è un P' », ovvero [§ 1] il CELARENT della prima figura : « se nessun M è un P ed ogni S è un M, nessun S è un P », ovvero il CESARE della seconda : * se nessun P è un M ed ogni S è un M, nessun S è un P ». Dal Celarent, scambiandovi le premesse ed in esse P ed S, senza farlo nella conclusione, si ottiene il CAMESTRES della seconda : « se ogni P è un M e nessun S è un M, nessun S è P » da cui, trasformando la seconda premessa, il CAMENES della quarta : « se ogni P è un M e nessun M è un S, nessun S è un P ». § 4. Il sillogismo in DARII della prima figura è : « se ogni M è un P e qualche S è un M, qualche S è un P ». (2) Trasformandovi la seconda premessa, esso diviene il DATISI della terza : « se ogni M è un P e qualche M è un S, qualche S è un P ». Cambiando in entrambi P in P', se ne ricava il FERIO della prima : « se nessun M è un P e qualche S è un M, qualche S non è un P » ed il FERISON della terza : « se. nessun MèunPe qualche M è un S, qualche S non è un P ». — 340 — ANALISI DELLA SILLOGISTICA (5) V Dal Ferio, trasformando la prima premessa, si ottiene il FESTINO della seconda : « se nessun P è un M e qualche S è un M, qualche S non è un P » ; da cui, trasformando la seconda premessa, il FRESINON della quarta : « se nessun P è un M e qualche M è un S, qualche S non è un P » . Dal Darii, scambiandovi le premesse ed in esse P ed S, senza farlo nella conclusione, si ottiene il DIMARIS della quarta : « se qualche P è un M ed ogni M è un S, qualche S è un P »; da cui, trasformando la prima premessa, il DISAMIS della terza : « se qualche M è un P ed ogni M è un S, qualche S è un P » ; da cui, cambiando P in P' e trasformando, si ottiene il BOCARDO della terza : i « se qualche M non è un P ed ogni M è un S, qualche S non è un P ». Dal Festino, cambiando M in M' e trasformando, si ha il BAROCO della seconda : « se ogni P è uu M e qualche S non è un M, qualche S non è un P ». § 5. Il sillogismo in DARAPTI della terza figura è: « se ogni M è un P ed ogni M è uu S, qualche S è un P ». (3) Cambiandovi P in P' e trasformando, si ha il FELAPTON della terza : « se nessun M è un P ed ogni M è un S, qualche S non e un P »; da cui, trasformando la prima premessa, il FESAPO della quarta : « se nessun P è un M ed ogni M è un S, qualche S non è un P ». Infine, il BRAMANTIP della quarta figura è : « se ogni P è un M ed ogni M è un S, qualche S è un P ». (4) — 341 — ( 6 ) RIVISTA DI FILOSOFIA NEO-SCOLASTICA § 6. Così i 19 modi si riducono a 4, cioè: in Barbara (1) e in Darii (2) della prima figura, in Darapti (3) della terza e in Bramantip (4) della quarta'; ma i due ultimi sono illegittimi, come ora chiarirò. Un termine [§ 1] può essere nullo, tale cioè che nessun in¬ dividuo appartenga ad esso, e ciò può accadere in due maniere: o perchè ad esso vengono attribuite due proprietà formalmente incompatibili (ad es. « l’insieme dei numeri maggiori e non mag¬ giori di 5 ») o perchè ad esso vengono attribuite due proprietà realmente incompatibili (ad es. « l’insieme dei numeri maggiori e minori di 5 »). La prima incompatibilità può, anzi deve, essere rilevata dal logico, (perchè dipende unicamente dalla proprietà delle parole: « e » e « non », nota sotto il nome di « principio di contraddizione »); ma non cosi la seconda (la quale non può essere rilevata da chi ignori, o finga di ignorare, il significato aritmetico delle parole « maggiore » e « minore »). Ora, poiché un gruppo nullo è contenuto in ogni gruppo, le premesse del sillogismo (3) potrebbero essere verificate da un ter¬ mine nullo M (di quelli che il logico non ha obbligo di sapere che son tali) e da due termini arbitrari P ed S, i quali perciò possono non verificare la conclusione. Analogamente, se P è un termine nullo, mentre M ed S sono tali che ogni M sia un S, risultano verificate le premesse del sil¬ logismo (4), ma ma non ne è verificata la conclusione (*). D’altronde, se, oltre alle premesse del Darapti (3), è dato che M non è un gruppo nullo, da ciò e dalla prima premessa (me¬ diante il principio 2 del § 7) si ricava che « qualche M è un P » ; da ciò e dalla seconda premessa, mediante il Disamis, si trae la conclusione. Analogamente, se, oltre alle premesse del Braman¬ tip (4), è dato che P non è un gruppo nullo, da ciò e dalla prima premessa si ricava che « qualche P è un M »; da ciò e dalla se¬ conda premessa, mediante il Dimaris, si trae la conclusione. Riassumendo: il Darapti e il Bramantip, come sono enunciati, sono falsi; mentre, corretti, sono superflui. Cosicché rimangono soltanto il Barbara (1) e il Darii (2); ed entrambi sono legittimi (senza possibilità di eccezioni). (*) Uno dei primi e più notevoli risultati dell’adozione di un’ ideografia logica fu appunto quello di rendere manifesta la falsità dei modi tradizionali di sillogismo, mediante i quali da due giudizi universali si vorrebbe dedurre un giudizio particolare. Tale falsità venne riconosciuta separatamente da Miss Ladd (a. 1883), Schroder, Nagy, Peano, ecc. — 342 — ANALISI DELLA SILLOGISTICA C?) § 7. Il Darii (2) può decomporsi nei seguenti due principi: / 1 ) S e ogni x è un y, allora, qualunque sia il gruppo z, ogni « individuo co¬ mune a z ed x » è un * individuo comune a z e y »; 2) se ogni x è un y e se vi è qualche x, allora vi è qualche y. Infatti: dalla prima premessa del Darii (2) e dal principio 1) si ricava, qualunque sia S, che : ogni « individuo comune ad S ed M « è un « individuo comune adSeP»; (a) alla seconda premessa si può dare la forma : vi è qualche « individuo comune ad S ed M »; (P) da (a), (p) e dal principio 2) si ricava : « vi è qualche individuo comune ad S e P », cioè la conclusione del Darii. I principi 1) e 2) non hanno carattere sillogistico [§ 2], ma sono più fecondi di applicazioni del Darii che ne deriva. Ecco perchè la logica matematica considera un solo modo di sillogismo, e cioè il sillogismo in Barbara, il quale, scambian¬ dovi le premesse e sostituendo a, b, c ad S, M, P, diviene 3) « se ogni a è un 6 ed ogni b è un c, allora a è un c »; il che si esprime anche dicendo che: l’inclusione è una relazione transitiva. In particolare, se al gruppo a appartiene un solo indivi¬ duo x, allora « ogni a è un & » sol quando « x è un b »; in questo caso, trasformando in tal modo la prima premessa, si ottiene : 4) « se x è un 6 ed ogni b è un c, allora x è un c ». Si possono distinguere gli schemi 3) e 4) chiamando il 3) sil¬ logismo in forma collettiva e il 4) sillogismo in forma individuale. Ecco a che si riduce tutta la sillogistica, non però la logica deduttiva; che mercè Videografia logica, si è arricchita di molte — 343 — RIVISTA DI FILOSOFIA NEO-SCOLASTICA (8) e notevolissime forme di ragionamento alcune delle quali, pur essendo feconde di applicazioni, mal si prestano ad essere tradotte in linguaggio ordinario. Chi desidera conoscerle, deve affrontare la fatica, più lieve che forse non tema, di imparare l’ideografia logica. (*) (*) A taf fine vedasi il Formulario matematico edito per G. Peano (To¬ rino, Fratelli Bocca, ed. Y) ovvero il mio recente scritto su: La logique déductive dans sa dentière phase de dévelofpement, pubblicato dalla : Revue de Métaphysique et de Morale (Paris, Arnaud Colin, novembre 1911, gen¬ naio 1912), e che ora sta per uscire in volume con prefazione di G. Peano (Paris, Gauthier-Villars, 1912). Nota. Però anche in sillogistica, ad evitare equivoci, meglio delle famose regole, giova la conoscenza dell’ideografia logica: la quale, tra gli altri vantaggi, offre quello non lieve di rendere impossibile lo scrivere asserzioni ambigue, 'quali ad es. quelle usate nella minore (seconda premessa) dei sillo¬ gismi analizzati in: Osservazioni sulla regola sillogistica « Peiorem setnper.... etc. » di P. Gentile nel n. 5, anno III, di questa Rivista. I sillogismi cui accenno sono (trascritti esattamente anche con le loro parentesi) : 1) Gli animali sono mortali — Alcuni animali sono (tutti gli) uomini — Dunque tutti gli uomini sono mortali; 2) Gli uomini non sono immortali — Alcuni uomini sono (tutti gli) italiani — Dunque tutti gli italiani non sono immortali; 3) Nessun angelo è mortale — Qualche mortale è (ogni) uomo — Dun¬ que 1’ uomo non è un angelo. L’A. li considera quali sillogismi in Datisi, Ferison e Fresinon, eccezio¬ nali in quanto le conclusioni universali sono vere. Ma, per considerare tali sillogismi conformi ai modi indicati, bisognava scriverli così [§ 4] : 1') se ogni animale è un mortale e qualche animale è un uomo, qual¬ che uomo è un mortale; 2') se nessun uomo è un immortale e qualche uomo è un italiano, qual¬ che italiano non è un immortale; 3') se nessun angelo è un mortale e qualche mortale è un uomo, qual¬ che uomo non è un angelo. L’asserto dell’A. che le conclusioni di 1) 2) 3) sono vere lascia indifferente il logico, il quale si accontenta di dichiarare che esse non sono conseguenze delle premesse 1') 2') 3'). Volendo rendere legittime le conclusioni 1) 2) 3), i sillogismi considerati andrebbero scritti cosi: 1") se ogni animale è un mortale ed ogni uomo è un animale, ogni uomo è un mortale; 2" se nessun uomo è un immortale ed ogni italiano è un uomo, nes¬ sun italiano è un immortale; 3”) se nessun angelo è un mortale ed ogni uomo è un mortale, nes¬ sun uomo è un angelo. — 344 — ANALISI DELLA SILLOGISTICA (9) Ma questi sono sillogismi per nulla eccezionali in Barbarei, Celarent e Cesare. La verità è che in 1) 2) 3) la seconda premessa è volutamente ambigua : si tratta di un giudizio universale espresso in veste particolare. Dicevo che, ricorrendo all’ ideografia logica, tali ambiguità non sono pos¬ sibili; ad es., chi vuol tradurre in simboli l'asserzione: « alcuni animali sono (tutti gli) uomini », bisogna che si decida a scrivere: i ^ (animale « uomo) » cioè ' « qualche animale è un uomo » ovvero « uomo o animale » cioè « ogni uomo è un animale », si trova cioè costretto ad abbandonare lo schema ambiguo 1), per attenersi ad uno degli schemi 1') o 1"). Soggiungo, per dare un’applicazione di quanto ho detto nel § 3, che, co¬ noscendo soltanto il sillogismo in Barbara, le premesse di 2") si potranno ri¬ scrivere [§ 1] cosi: « ogni uomo è un non-immortale ed ogni italiano è un uomo », ricavandone la conclusione, in Barbara, ogni italiano è un non-immortale cioè nessun italiano è un immortale; e si noti che espressamente non ho scritto « mortale » al posto di « non-im¬ mortale », perchè, come logico, non dovevo giovarmi di una conoscenza del termine « immortale » estranea alle premesse. Analogamente, le premesse di 3") si potranno riscrivere cosi: « ogni mortale è un non-angelo ed ogni uomo è un mortale » ricavandone la conclusione, in Barbara, ogni uomo è un non-angelo cioè nessun uomo è un angelo. Lascio al lettore giudicare se sia più comodo e più utile conoscere tutti i modi e le regole della sillogistica tradizionale ovvero, essendo date le pre¬ messe, saperle trasformare in modo da accertare se ad esse possano applicarsi i sillogismi in Barbara o in Darli. Si badi che ho analizzato gli esempi 1) 2) 3) soltanto perchè da essi si pretendeva trarre argomento per le asserzioni che ho cofutato ; ma, a proposito di esempi, è deplorevole che quelli abitualmente addotti nei trattati e nelle dispute di logica siano quasi sempre di cosi tenue consistenza da far apparire giusta la risibile, e tuttavia funesta, accusa di sterilità che, da Sisto Empirico in poi, vien ripetuta contro ogni specie di sillogismo. Perchè non attingere invece qualche buon esempio dalla matematica, che pur ne offre a migliaia e che da millenni testimonia — contro gli ignari, gli scettici e i so- fìati — la inesauribile fecondità del metodo deduttivo? Genova, 5 maggio 1912. — 345 —