GRICE E PIERI or — Lan più profondo, e ben più atto a dissipare ogni cattiva 0- pinione delle matematiche, il pensiero del nostro (+. Leo- pardi, che qui ripeto con le sue stesse parole ! Egli dice : “ | certo che il grande poeta può essere anche gran matematico, e viceversa. Se non è, se il suo spirito si determinò ad un solo genere (che non sempre accade) ciò è puro effetto delle circostanze ,;. Ed altrove : “ Si può dir che da una stessa sorgente, da una stes- sa qualità dell’ animo , diversamente applicata e diversa- mente modificata e determinata da diverse circostanze e abitudini, vennero i poemi d’Omero e di Dante e i ‘ Prin- cipi matematici della filosofia naturale’ di Newton , (*). Si o Signori; anche Ja matematica è in non piccola par- te poesia! Anche il matematico guarda dall’ alto la realtà delle cose; e, astraendo da ciò che hanno di greggio e di mutabile o caduco, ne ravvisa le parti perfette e immanenti, ne rileva le mutue relazioni con linguaggio espressivo ed universale. Anch' egli trasforma certe impressioni da po- chi avvertite in mirabili edifizi speculativi, come per sola virtù di fantasia; a lui tocca similmente il travaglio di costringer |’ idea nella formula, di cimentare il pensie- ro alla stregua di lunghi e penosissimi calcoli ! E (dirò con Exkico D’ Ovipio) “ il sentimento dell’ eleganza nel concetto e della venustà nella forma non spiccano forse nei veri matematici come nei poeti: così che spesso una dimostrazione è bella quasi allo stesso modo di un so- ) Pensieri di varia filosofia e di bella letteratura ’ INT, 343, e IV, 69. 10 TT CRM ne ezzo dei cerchi attribuiti ad Zulero; e già segnalata ]a m falda i FAIR transitività di certe ca simili — oltre quelle significate comune- relazioni — come l' “ esser legato in- sieme con », © anne mente per le frasi “ è contenuto IN ,, “ è maggiore di ,,, «è uguale a , eco: ma non di meno resta sempre a Leibniz il merito di aver visto prima d’ogni altro Ja possibilità d’ una logica matematica, come oggi 8’ inten- de. e di averne tentato la costruzione. “ Sentio — Egli _ dior — Logicam quae habetur in scholis tantum abesse “ a Logica illa utili in dirigenda mente circa veritatum “ variarum inquisitionem, quantum differt Arithmetica “ puerilis ab Algebra praestantis mathematici (*). , Con tutto ciò nulla Ei dette alle stampe di queste Sue profonde ricerche: i cui mirabili frutti vengono oggi alla luce per la pubblicazione dei Suoi manoscritti ine- diti della Biblioteca Reale di Hannover. I successori, sopra tutti lo svizzero LAMBERT nel secolo AVI; e nella seconda metà del XIX el’ inglesi BooLE, De Morsax e Mac-Cott, 1’ americano Carro Peirce € i tedeschi Scimoner e FREGF, sapendo che Leibniz era giunto “ comporre un algoritmo logico fondato sulle proprietà dei segni d’inelusione, di congiunzione e disgiunzione, di Negazione, di eguaglianza e di assurdo, riuscirono per vie n Verse ‘ ricostituirlo in un tutto organico e a svolgerlo sistematicamente — Der altro senz’aggiungervi gran che di nuovo, come di poi 8'è visto. — Ka è importante (*) L. Courunar, * Opusenles x dar st 20 Paro DE i = Uh ba , >. dr La (3 © a 5 = Mu i al 4 n Se I P #. +9 è i facfiacua di A eredi indamenti delle varie disci plino matomatiche, “ tn codesto ricerche, dove 1 errore si cla spesso in malintesi o in particolari di poca o niuna apparenza. molto giova uno strumento per osservare le minime dit ferenze ideali (differenze che, tra le frange e le piezte del comune linguaggio e senza una Jente che le ineraa- disca, passano troppo sovente inavvertite); uno strumento che ci costringa a pesare e vagliare scrupolosamente ogni iden; che notomizzi ogni ragionamento, e ne palesi Fin tima struttura e lo scheletro. Non è forse eccessiso pa ragonare la Logica matematica ad una microscopia del pensiero ; e tutto 1° indirizzo logistico ad una spere di positivismo della ragion deduttiva. Chi non sente, ad es., il pregio di aver sott'occhio in brevissimo spazio, così da poterle abbracciar con lo sguar- do, tutte quante le ipotesi che è d' uopo non perder di vista nel corso d’ una dimostrazione un po’ complicat: Come 1° occhio umano è in sè tutt'altro che un docile e sicuro» strumento degli atti a cui si direbbe ordinato, così Ja parola, non sorretta dal metodo, è bene spesso ar- gomento di gravi ‘llusioni ed errori. E però, > l'andare coi piè di piombo è savio proposito in chi muove per gli ardui “sentieri. dell’ induzione sperimentale o storica, non ia! consiglio meno opportuno a chi voglia percorrere con | —’sicurezza Je vie della deduzione logica, în apparenza tanto - *® N tica circonda una dimostrazione rigorosa, sembrano n «| più facili e piane. Le cautele, di cui la Logica matema- messa Inavvertita: e che hanno bene un volgersi a cose di poco è niun alle inezie. Se non che la c SPesso appar Conto, e dj a e AR) LA Uura anche delle I piccole e delle mezie si Potrebbe, Ml di 8811 1 SELE siii sh ) "4 VCCOrrenz; ben contortare e giustificare OSBervando, con ( L na siate vi. enza di dar COrpo (TOSCO TOPARDI, € Non altrimenti il filosofo AFTIVa alle “ rità che sviluppando, indagando, svelando ; (10 « do, notando le menome cose; grandi ve- consideran- ‘ grandi nelle loro menome ME piloni E mi soccorre qui un fatto narrato da Maurizio Cax- ror nella sua Storia delle Matematiche. Prima dell’ in- venzione del calcolo infinitesimale (dovuta principalmente al genio di Leibniz) sopperivano in parte agli uffici di questo i varî metodi così detti d’ esaustione, degli indi- visibili, delle tangenti, dei massimi e minimi, ecc: tutti, per altro, così artifiziosi e manchevoli, che a bene usarli richiedevasi poco meno che il genio dei loro grandi sco- pritori. Un illustre matematico olandese, l’ Hurcess, che tutti Ji dominava nella vastità del suo ingegno, mosse all’ incirca quest’ objezione al Leibniz: Dove Voi giun- gete col Vostro algoritmo degli infinitamente piooali, 20 giungo del pari co” miei artifizì geometrici; © non © * problema da Voi trattato, ch’ io non sappia risatvei “A gli altri processi a me noti. Rispose I Laine Li 5 milmente per designare la potenza mo di @ nol "i \ono ancora A 400 dl m Volte di seguito, ISS (*) Loc. cit., III, 79. PIE = ut ste lo studio delle relazioni d’inelusione è di pri * . licazione fra concetti generali ed astratti | i è, non ostante i tentativi ignorati DS fortunati) di Jungins 6 Leibniz, e dei I i @ ; loro discepoli, nulla poteva far presagire una sua rina- scenza, 0 um suo sviluppo ulteriore. Dal canto loro le matematiche formavano una collezione di scienze speciali d’ indole tecnica — scienza del numero, della quantità. dell’ estensione, del moto — collegate fra Joro sopra tutto dalla comunanza del metodo. Ma come il Pascar secnalava a’ suoi tempi (e molti di noi constatammo, non senza stupore, all’ inizio dei nostri studî) codesto metodo deduttivo proprio delle matematiche era quasi straniero alla Logica formale, che nondimeno presumeva studiare ogni foggia di raziocinio. Esisteva dunque implicitamente, sino ab antiquo, una logica matematica al tutto indipen- ente e remota dalla Logica classica 0 sillogistica, pale- satasi da gran tempo incapace di render conto dei razio- cinii matematici: e i filosofi non sapevano altrimenti spie- gare codesta dualità, che appellandosi ad una cotal di- stinzione fra Jogica di qualità ‘e logica di quantità ; ma senza troppo indagare il come © il perchè d'un così deplorevole contrasto. (*) Siffatta condizione di cose cambiò sostanzi A 1850 in poi. Da un Jato | matematici furon DreSt sa scrupoli logici ignoti fino £ quel tempo i * Re e Ve ee sostanzialmente dal 7 (®)L Covovar, ‘Les principes des mathémaliques ", PAIS o (i. Cixror ed altre menti di eletta indole critica, essi si dettero ad analizzare i loro processi dimostrativi, a rive- der la catena dei loro teoremi, a indagare e notare tutte le ipotesi che s’ eran di nascosto insinuate nei loro ra- ziocini: in somma a scalcinar le pareti e a scoprire i fon- damenti dei loro edifizî speculativi, per costatarne la mag- ciore o minor solidità e resistenza. L'analisi infinitesimale, i cui principî serbavano ancora qualcosa di misterioso e di paradossale, fu definitivamente stabilita sulla dottrina ricorosa dei limiti; la teoria delle funzioni fu approfon- dita e liberata da molti pregiudizi d’ origine intuitiva : onde il maraviglioso e proteiforme sistema dell’ analisi matematica astratta si palesò capace di reggersi tutto sul concetto di numero intero e sugli assiomi aritme- tici; e potè constatarsi in modo non dubbio la in- sufficienza dell’ intuizione, come principio e fonte delle nostre conoscenze intorno al numero e alla quantità. La (ieometria e la Dinamica, spogliate a poco per volta d'o- eni elemento intuitivo, divennero infine veri sistemi 2p0- tetico-deduttivi: dove — premesso un certo numero d’as- siomi e postulati (che possono anche dissimularsi, sotto veste di definizioni) — tutto il resto procede per sola virtù del discorso razionale. Nacquero e si organizzarono la geometria di posizione, la dottrina degli aggregati e dei gruppi di trasformazio- ni (tre colonne della odierna matematica pura): da cui si manifestò che Je scienze del numero e della grandezza non erano giù primordiali — come si stimò lungo tem- po — ma che anzi riposavano sopra dottrine di carat- 4 I, : PIRA, todi. À Po se i nn i == ir! te; ti = = a tere piuttos ESS piuttosto logico che malematico, e sopra nozioni che nulla. avevano di quantitativo (*) |? I | . Dall’ altro canto Ja Logica, specialmente per opera di matematici, usciva proprio in quel tempo dal suo torpo- re secolare (**). Dapprima, accorgendosi di non aver nem- meno esplorato e dissodato l’intero campo, dove Aristo- tile l’avea circoscritta, scopriva nel ristretto dominio delle relazioni d’inclusione fra concetti ben altre forme di de- duzione, che i troppi famosi modi del sillogismo ; quat- tro deì quali su diciannove — e cioè le forme in Da- rapti, Bramantip, Fesapo e Felapton — si trovaron fallaci, ove non si congiunga alle due premesse una certa proposizione esistenziale (***). Appresso, ispirandosi ai me- todi e al simbolismo dell’ Algebra, la Logica formale si costituiva, per la prima volta dopo Leibniz, sotto il du- plice aspetto d’ un Calcolo delle classî e d’ un Calcolo delle proposizioni: due indirizzi paralleli, dove spuntano analogie mirabili; il primo dei quali è più elementare e si scosta meno dalla logica classica, dove 1’ altro (che oggi tende a prevalere) è più generale e va più lonta- no. — Di più, considerando che la mente nostra — così nella vita quotidiana, come nell’ investigazione scien- tifica — ha da operare con ben altre relazioni, che non (*) Primo ad osser consapevole di codesta verità fu Giorgio Boole (u- no tra i fondatori del calcolo logico) cho sino dal 1854 afformava « non appartenere all'essenza delle matematiche l'idea di numero e di quanti- tà » (Lares of Thought, p. 12, Profaziono). (**) I. Coururar, ibidem. (***) V. p. os. Mac Cont. * La' Logique symbolique et ses applications’, Congrès intern. de Phylos., Paris, 1900. free UE 1200.) a 0 di predicazione fra concerti, 1a notomizzare classificare. ogni atudiarno quelle proprietà formati, | vol di deduzione: 0 AMHumevk pertanto | { (° il carattoro universale di Logica delle rebazioni nel quale ; DE A gi va confermando ogni giorno, Mo gtiamo ni più prgn. Mae” do” i lavori di Sonmonpen, Ponnskt, Wurwrenap, Rue 4 gle tri, E poichò Je relazioni più semplici è più suggestive | is sono appunto quelle, che intercedono fra gli oggetti. pr A contorni ben definiti delle discipline matematiche, gi ape Di 7 i ng pa dep) as a fia ali pf fg pù pri pei rt | si, ff. ppt sie 4 = LIE, E mn. 1 lf La dt eo” proget È * td xa *% carattere di per nossologion ; fatti Geometrie indipendenti da. gempré d'accordo con l'intuizione (Geometrie, dove sol per appross Ls non troppo den era LIEZE eg ei deh an so 30 forze dipenda da tutto il movimento passato (ipotesi sug- gerìta specialmente dai fenomeni d’isteresi)—oppure una ipotesi di solidartetà , per la quale il campo di forze, lungi dall’ essere indipendente dal punto isolato che gi muove, subirebbe nel moto una variazione locale progres- siva, come se fosse occupato da un mezzo partecipe del movimento generato da quello (ipotesi che appunto si af- faccia nella muova dinamica degli elettroni). * dx * Se nel considerare il lato puramente formale delle di- scipline matematiche sl perde di vista — o addirittura si esclude —ogni materia reale o possibile delle loro impli- cazioni, sì cade in quel difetto che chiaman nominalismo: la cuì forma genuina consisterebbe nel credere o suppor- re di aver dinanzi un complesso di simboli e di conven- zioni arbitrarie, vuote di contenuto e senza alcun valore oggettivo. Questa è infatti la taccia, nella quale incorro- no più di frequente i matematici, con la tendenza a fog- giar da sè stessi 11 loro mondo, a riguardare le idee ma- tematiche come pure creazioni della mente. “ La forma- zione dei concetti matematici è un atto pienamente libe- ro —dice G. Cantor — salve soltanto la compatibilità d'ogni concetto coi rimanenti ,, (*): se non che i mate- matici non sempre si curarono di rispettare questa con- dizione alla lettera, la qual cosa avrebbe fornito loro senz’al- tro alcun che di esistente nella sfera di quei concetti. Pur sarebbe ingiusto il tacere, che un tal peccato non (") “Grundl. e. alla. Mannichfaltigheitslehre, Loipzig. 1883, p. 18-20. potò mai partorire effettivamente alcun danno alla pra- tica, hd alla dottrina : in grazia forse di quella certa ar- monia, che (secondo B. SPINOZA) fa sì che Je operazioni del nostro intelletto siano a priori intonate coi fenomeni dell'universo. Per es. quegli enti, che poi si chiamaron quantità immaginarte, non eran dapprima che meri sim- bolì dì mon eststenza ; e pretto nominalismo fu l’ostina- gione dei matematici nel conferire ai medesimi certe pro- prietà formali è nell’ operar su di essi, come se celasse- ro qualche substrato reale. Or bene, in oggi le interpe- trazioni tangibili e le applicazioni positive di que’ ‘ giuo chi dì parole’ non si contano più ! — Che cosa di più arbitrario e convenzionale delle regole d’un giuoco, d’onde sì traggono spesso deduzioni su deduzioni, prive d’ ogni senso reale ? Eppure il calcolo delle probabilità, così largo di aiuti all’ esperienza e fondamento del metodo statistico dei grandi numeri , ebbe origine da questioni relative a dadi e a giuochi di carte. È fuor di dubbio che i matematici vanno assumendo, di giorno in giorno atteggiamenti sempre più nominali- stici; ma non è più tempo oramai di quel nominalismo grossolano ed empirico, che dall’ Hopsss sì concepìva pres- so a poco nei termini che ho detto sopra; bensì del trat- tare e maneggiar come simboli gli oggetti dell’investiga- zione matematica, ragionando in questa maniera : «“ Se nell’ universo fisico o mentale esiste un quid, ce i so disfaccia alle condizioni da me imposte a que’ pinta per esso dovranno verificarsi i tali e tali altri fatti da me dimostrati ,. Oppure : “ Le mie premesse C) di iP » Pi bai Di Ce e ì tie free ì Lai © * #, > #.. Pi e = dei ci RI A n RA O sono da 1 co per compatibili, sino a prova in sensanio ”° Ora è chiaro, che altro è negare e disconoscere aì simboli qualsivoglia contenuto reale o possibile, altro è — come quì—trascurare ogni loro interpetrazione speciale; e ope- rar su di essi prima ancora di conoscerne il senso reale, e senza inquietarsi perchè non pajano aver corpo oggi, e non trovin per ora alcun riscontro positivo nei fatti. ]l peggio che possa accadergli—direte Voi, o Signo- ri—sarà di perdere il tempo. Ma il nominalista risponde, non senza ragione, che il mondo immaginario in cui vive è pieno d’ attrattive per lui; ch'egli fa l’arte per l’arte, e che la soddisfazione e l’onore dell’ ingegno umano son fini più che bastanti a giustificare qualunque ricerca scientifica. Nè io saprei dargli torto. Voi fate la scienza del reale — egli dice—noi moviamo a ricercare il possibi- le. A voi basta acconciarvi alle cose che esistono, così da cavarne il miglior partito pei vostri bisogni; la vostra sapienza mira sopra tutto a prevedere ciò che sarà per succedere, a somiglianza di quanto è accaduto in addietro o che suole accadere al presente: noi per di più ci oc- cupiamo di quel che accadrebbe, se certe condizioni si avverassero, se tale o tal altra parte della realtà si mo- dificasse. Negherete di darci ascolto, proprio ora che da più parti si cerca di ridere a spese di quelle tali objet- tività e realtà, che sapete...? Meditiamo insieme, piutto- sto, al “ Tu solo, o ideal, sei vero.... ,, del sommo Poeta. Pig Ogni dottrina deduttiva ripete 1’ esser suo, la sua vita da quel processo intellettuale che va sotto il nome ge- nerico di sillogismo (in senso lato) dot. o implicazione, ; renza; e che permette di trarre plicazione, infe- due 0 più promesse. Or che big necessarie da conclusioni necessarie ? lovrà intendersi per «Adlo mitica presente della critica, non par che si po rispondere in modo assoluto. Le varie tendenze sui che circa il modo di concepir la natura e gli uffici del x; ragione potranno dar forse qualche }lume in proposito: il matematico sospende il giudizio; pago, se il paragone e l’analisi dei vari tipi di raziocinio, sanzionati dall’uso di molti secoli, gli consentono di riconoscere un certo numero di fatti generali e costanti come norme della ragion deduttiva; e se può coordinarli in un tutto coe- rente ed armonico. Così è che i logici-matematici — da Boole sino a C. S. Peirce, a Schroder, a Peano, a Rus- sel — riuscirono dapprima a compilare un elenco, indi » formare un corpo di nozioni e principî, da cui par che dipenda ogni efficacia e virtù di ragionamento. I frutti migliori diede lo studio delle varie fogge di argomenta- zione e d'’illazione familiari alle scienze matematiche: nè vi sono ormai discrepanze fra i risultati, benchè l’opera non possa dirsi anche perfetta. i È, credenza generale è ben fondata, che la Matematica ipeta Ja sua certezza dall’intima comunione con le leggi -omutabili della Logica, ossin coi principî costitutivi ne son sarebbe forse men Vero il s0g> po fe __ viceversa — la stabilità e permanenza di i ei a fl lungo tempo cimentati © tempra 9° SO: 0% 3 veli ira e FAZIONE Non si tratterebbe, se mai, d’ circolo vizioso: e d’ un intreccio di eventi capaci di deter. minarsi a vicenda; nel quale parve anzi ad alcuno di ravvisare come un saggio eloquente e nativo di quel pro- cesso, che i matematici odierni chiamano per appros- simazioni successive (*). Non vediamo noi 1’ esperienza modificar senza tregua i nostri concetti fisici; e questi, così modificati, condurre man mano a nuove previsioni e e a nuove esperienze: e così, per via di approssimazioni successive, 1 concetti divenir sempre più maneggervoli e le esperienze più conclusive? — Tutto sta che il pro- cesso sia convergente: e qui si può creder che sia, per ragioni induttive e storiche. E chi sa che in modo si- mile a questo non siasi costituito, afforzato ed affinato in noi stessi il poter deduttivo? — Se così fosse, anche gli assiomi logici avrebber carattere strumentale, e Ja loro vantata necessità diverrebbe illusoria. Si adduce in proposito, che non di rado anche uomi- ni insigni, persino fra i matematici, dissentirono circa il valore o l’ esattezza di qualche ragionamento; e che certe fogge d’argomentare, avute un tempo per buone, non ap- pagano più le esigenze moderne: per es. il grand’uso che si faceva una volta dell’intuizione geometrica e meccanica nel ricavar conseguenze, che non si stimaron per questo meno apodittiche, o men necessarie delle altre. Se non che il dissenso par che volgesse non tanto sulla bontà e verità dei principî, quanto sull’ uso — non sempre di- (*) M. Bòcuer, ‘ The foundam. conceptions ele (loc. cit.), p. 120. 35 sciplinato e legittimo — che potò farsi di quelli. Così se oggi escludiamo che l’ intuizione possa giustificare una deduzione rigorosa, gli è solo perchè vogliamo, che il ra- gionamento proceda secondo norme precise e leggi ben definite ; dove l'intuizione fu sempre ribelle a codesta di- sciplina, rifuggendo per sua natura da qualunque deter- minazione. Che delle successive conquiste della Matematica nes- suna ha distrutto le precedenti; che nel progressivo svi- luppo delle discipline matematiche nulla vi è stato da rinnegare, nulla da mutare sostanzialmente; che il trionfo di concetti nuovi non ha mai propriamente infirmato le verità ciù acquisite: questi fatti trovan la lor ragione nella cura costante, che i matematici posero a non di- scostarsi mai da quei pochi processi logici, che sono stati seguiti spontaneamente, naturalmente, senza discussione e senza eccezione, da tutti gli uomini, in tutti i tempi, in tutti i luoghi (*). Ma con tutto ciò (si osserva) non è tolto assolutamente il pericolo, che i modi e le forme di raziocinio, da noi ricevuti e adoperati con tanta fiducia, ci facciano urtare un bel giorno in qualche contradizio- ne: onde per lo meno avverrebbe che certi assiomi logi- ci, i quali ora stimiamo validi universalmente, in realtà sarebber soggetti a qualche restrizione. Un tal dubbio non è logicamente impugnabile; non avendosi pur troppo alcun mezzo di escludere a priori (ossin con la stessa certezza di un teorema logico) la possibilità d’ un evento *) E. D' Ovipio, * Uno sguardo alle origini oto. * (loc. cit.), p. 35. = — | = OTT î dk così sgradevole. Non si può avere una certezza apod. tica della compatibilità o consistenza di tutte indice le premesse inerenti nl discorso; in quanto per condude che gli assiomi logici A, B, €,... sono immuni da ogg germe di contradizione, bisogni esser certi che i prineigg A', BI, C,.. su cui poggia In dimostrazione sono es stessi compatibili: In qual cosa richiede a sua volta ssa nuova dimostrazione; e così via senza speranza di veci ta, come il cane che insegue la propria coda. A dar credito all’objezione suddetta molto ha contri buito la recente scoperta di alcune antinomie e eontra- dizioni nella teoria degli aggregati e dei numeri trasé- niti. Sono argomento di valorose discussioni i paradossi lel Burali-Forti, del Richard, di Zermelo-Kéonig. Ilustri matematici e filosofi prendono parte alla disputa: e e qualcuno ne trasse motivo a dichiarare il fallimento delle nuove tendenze logistiche. Se non che bisogna guardarsi dall’ esagerar l'importanza d’un fatto tutt’ altro che nuovo alla storia delle scienze. Antinomie occorsero in Matematica più d’ una volta, e tutte ricevvero prima © poi soluzione adeguata; in tutte si trovò, prima o por, qualche errore di raziocinio. È celebre tra i filosofi greei Ja contradizione di Achille e della testuggine, dipendente dalla relazione 1=/ +! ++... in infinito; dove )’ unità è posta eguale ad un numero, che varia restando sempre minore di 1, Nel secolo XVII fu grande oggetto di controversia Ja serie 1-1+t1-—1 +41. infinito, la cui somma vale .1, 0, !|» 0 non ha valore plate» (letermina- to, secondo il criterio che si adotta nel definire il limite » È î | vt ta? . in generale e la somma d' infiniti numeri. In ambo gli esempì disparve ogni contradizione, quando fu nota una esatta definizione del limite: ond' è verosimile, che la presenza d'idee non ancora ben definite sia la sola ca- gione, che ci permette talvolta di spinger qualche dottri- na poco matura a conseguenze non conciliabili fra loro. Tutte le antiche e moderne antinomie derivano, per un verso o per l’altro, dal considerar 1’ infinito; che per ciò appunto alcuni (i finitisti, come il Renouvier) vorreb- bero escluder senz’ altro dal dominio della ragione. Con- siglio prudente, ma vano; atteso che l'infinito è nella natura di troppe quistioni, e “ naturam expellas furca, tamen usque recurret ,,. (*) Concetti d’ una sfera così vasta, che parve giù sogno il presumere di segnarne con precisione i confini, son oggi divenuti logicamente ma- neegevoli, e prestano ottimi servigi alla ragion dedutti- va. Certi altri — come “ tutto il pensabile ,, “ tutto ciò che non è numero ,, @ simili — par che abbiano ‘n sè veramente alcun che di vago e d’ indefinito; e non è meraviglia, se partoriscono equivoci. Le concezioni ed operazioni matematiche si estendono ad ogni classe finzta di enti, e a certe classi infinite, che si posson chiamar “ transfinite ,: ma è fuor di dubbio che esistono an- cora innumerevoli classi, a cui non sono applicabili. — rr” (*) G. Peano, * Supor theorima do Cantor- Bernstein *, Rev. do Math,, VIII, 148-45 (1900). l pn h miglior nce) quasi tutti | risultati del Caswrog: ma, quando anche non si giungesse ad escluder da queste al foggo OENÌ traccia di contradizione, e ci convenise sfron- daro una parte della dottrina dei numeri transfiniti, © rocidere qualche altro giovane rampollo del grande 40 hero matematico, la Critica ci ha da gran tempo as- vozzi a bon altri pontimenti 6 1 ben altre rinunzie! Ep- pure ci fu chi non dubitò di ascrivere a demerito dei logici-matematici l’ aver concorso mettere in luce co- deste difficoltà e ad agitarle; quasi che a loro fosse Im putabile 1° esistenza di così fatte antinomie. x Mk Tutti sanno che ogni teorema di matematica è subor- dinato a certe condizioni od ipotesi, — esplicite 0 no — che ne definiscono il campo di validità. Un teorema è vero, qualunque volta ne sian verificate le ipotesi: il che fa già intravedere il carattere logico, o formale, delle verità matematiche, e il genere di valore che queste pos- siedono — valore, che si potrebbe anche qualificare come una necessitd ipotetica (*). Gli studi logico-matematiei intorno alle varie discipline deduttive cercano appunto di dar risalto a questo carattere © di scoprirlo dove non è palese, organizzando ciascuna di quelle (fin dove è pos- sibile) secondo uno 0 più sistemi ipotetico-deduttivi. Un ordine di proposizioni, la verità delle quali riposi unicamente SU certi postulati od ipotesi peculiari a cia- ©) Coutural ,* Lea prino pino. des Mathém *, (loc. cit.) pag. 4. È pd fel 6 r , i i he » Ù x "Te o Pg di L) LL 24 PARTI PUNTA LI da Pe fi.“ è : n e: ‘cuna disciplina © sugli assiomi logici ; di Guisa che | ; de tutto si svolga per virtù propria da questi soli va combinati algebricamente fra loro a tenor delle dei canoni che informano il calcolo logico: ‘ sistema ipotetico-deduttivo ’, ncipii, C88Ì e tale, , “ dipresso, ll Il processo algoritmico porta non solo a distinen organicamente i giudizi a priori, o primitivi, da i derivati, o dedotti — insomma gli assiomi e POstulati dai teoremi — ma così anche e nella stessa misura (fra le nozioni intorno a cui versano questi giudizi) le jdee primitive, o indecomposte, da quelle che ne sono ripro- duzioni e derivazioni formali, e che insomma risultano effettivamente composte mediante le prime, combinate fra loro e con le categorie della Logica. Le due distinzioni sono in verità molto affini, e la seconda non è meno antica dell’ altra, nè par che le spetti un valore molto diverso: ma con tutto ciò non l’è stata riconosciuta ’pra- ticamente un’ eguale importanza prima dei nostri tempi. Si cercava bensì di ridurre al minor numero gli assiomi e i postulati, ma per lo più senza porre studio di sorta nel definire tutti gli elementi che occorrono ad una trat- tazione deduttiva col minor numero possibile d’ idee fon- damentali: onde il vantaggio , che si acquistò per Ul lato, si perdè bene spesso dall’altro, atteso il numero © la qualità delle idee primitive, a cui si volle raccomalt dato il sistema. (Così, per citare un esempio, benchè ve fuor di dubbio oramai che gli oggetti della Geometri* Cera Si posson comporre di due sole materie prime Ideali: per es. il punto e la sfera, ovvero il punto i — “REI il moto: vedemmo pur non è molt DA simo ufficio di “‘ Grundbegriffe der meno che le nozioni di Corpo rigido, Parte d'un coi Spazio, Parte d’uno spazio, Occupare uno snai vg l pazio, Tem- po, Quiete, Movimento). i do: Decorne ‘0gistiche da istituire intorno ni principii d’ una disciplina deduttiva consiston pertanto in un du- plice lavoro di riduzione: e cioè riduzione di tutti î con-- cetti a poche idee primitive per mezzo di definizioni op- portune; e riduzione di tutte le proposizioni a un certo numero di postulati o proposiz.' primitive attraverso il processo deduttivo. Lo studio principale è sulla mag- giore o minor convenienza di questa o quella definizione, di tale o di tal altro postulato: ed ha in sè tuttavia qualche cosa di soggettivo e d’ arbitrario, in quanto vi sia sempre una certa libertà nella scelta delle nozioni e proposizioni da assumere in officio di primitive. Se non che, giusta il nuovo modo di considerare, non c’ è luogo a parlare d’ idee ‘ più semplici ’ e di proposizioni ‘ più evidenti’ che certe altre idee o proposizioni: non vi sono, in fin dei conti, che idee non definite e prop. non dimo- strate. È logici-matematici non concepiscono la differenza fra altre che ne derivano at- come dovuta all’ esser quelle 0) Proporre alm edo Geometrie ’ niente le proposizioni prîmitive e le traverso il processo deduttivo Li cf per sè stesse più evidenti, più credibili, meno impugna bili: ma al contrario essi vedono nei postulati delle pro- posizioni come tutte le altre; la cui scelta può, Saper di- versa, a tenor degli scopi che Sl Ven raggiungere, ipa . to el paragone del vari aspetti anzi tutto dal 1 lo il variar dell Mo | | M' (10) tl 0] ial4, » il trattato, 8600N e Scelte, Ri — 1 i gu morelli i Na at rd IV wr si ndo an immagine nsgni felice di (. VAILATI (*) he, 00 i rapporti fra 1 postulati e Je proposi. diremo fis I int hà ‘ basarià a dipendono 8 potevano un tempo Daragona- zioni | ; v f lli che intercedono fra il monarca ed i sudditi TU i (}l i : la NI, ? autocratico; ora Invece 1 postulati, rinun- d'un governo ric fi A | siando a quella specie di diritto divino, ba, cui pareva investirli la loro vantata evidenza, son divenuti come | capi elettivi d'un regime democratico, Ja scelta dei quali sj deve (0 Sì dovrebbe) alla riconosciuta capacità d’eser- citare per qualche tempo una funzione nell’ interesse del pubblico. Sn dal 1882 Maurizio Pasca dichiarava che, se la Geometria vuol essere davvero una scienza deduttiva, bi- sogna che i suoi schemi di raziocinio non dipendano dal significato degli enti geometrici — nel modo stesso che non dipendono da questa o quella figura illustrativa — e che soltanto le relazioni imposte a quegli enti dal po- stulati fondamentali abbian peso e valore nella. dedu- ostia (*). Con ciò veniva Egli a dire in sostanza, che | ente primitivo di qualsivoglia sistema deduttivo. deve Wi da Mep 5. arbitrarie, dentro certi col Neben, proposizioni primitive; in modo ché > delle parole 0 dei segni, che rappresentano ’ quale i Malche soggetto primitivo, sia unicamente determinato Voti Praa ui Fironzo, "EMI pi; Logica matem. ', nolla Rivista « Joonai* ) ‘ Vorles, ‘ is dif ok tina a Te I 43 dalle proposizioni che versano intorno n] DI . it il : anche, prima, per influenza di Gr medesimo, E ‘ La ® 10 Pr.ttok r Î) familiare ni Geometri 1° uso d’ intendere ’ i ta già . n] P | ta Pe 9, MI | linea o superficie come aggregato di parola La ‘Pa j di elementi À 3 “eMenti, di eni non occorre specificar la natura, purchè gi sappia che si pog- Sd valo. nori. ao di Go I | te parametri variabili. Co- desta facoltà di astrarre da ogni senso speciale dei con- cetti primitivi consente di operare simbolicamente sopra espressioni di contenuto instabile; e però di abbracciar col discorso in una sola dottrina generale éd astratta parecchi ordini di oggetti particolari e concreti: a quel modo che la risoluzione d’un solo problema algebrico contempla - sempre più casi, non solo diversi numerica- mente fra loro, ma altresì differenti per la qualità dei loro dati. * * *. Come già dissi, ln verità o consistenza di tutto il st stema delle premesse logiche non è dimostrabile. Il ca- rattere universale delle dottrine logistiche appare anche in ciò che — mentre il più de’ sistemi filosofici dispi- tano intorno al criterio dell’ esistenza — quelle a pre» sumon dirci che cosa sia il dato; Ma si uerpoan parlar d’ esistenza (0 della sua negazione, i ; logici come di un ‘ quid ' non definito, cui gli gg impongono certe condizioni: di guisa che, P-**- arguir stenza nota o supposta di certi oggetti si Pes" più su V esistenza di altri oggetti; eoc: Ort che, i DI 44 sagione tutti convengano fra loro; jo mi rag mbo qualche contradizione latente, è un ‘atto, che non gi può confermare Def CeGUZIONe 1 non ia ate: ad alcuni principi rispetto mi altri, di cu orse (I riori la consistenza); un fatto, dal quale che una certezza induttiva 0 storica (9) ) accolgano IN gro gi conceda 4 ] non si può avere A} contrario non è dimostrato ancora che in un domi- nio di pura logica (inteso con qualche larghezza) non si possa trovare un’ immagine o interpretazione dei concetti primitivi — poniamo dell’ Aritmetica — per cui tutte quante le proposizioni di questa scienza risultino verifi- cate. Allora — ove si conceda Ja compatibilità delle pre- messe loriche—avrem’ottenuto senz'altro una vera e pro- pria dimostrazione della compatibilità di codesti assiomi aritmetici, sul fondamento di soli principii logici. E una volta ammessa Ja consistenza degli assiomi aritmetici e logici, resta poi molto agevole stabilir quella dei postu- lati inerenti ad altri sistemi deduttivi. Molti stiman superflua, nella più parte dei casi, una dimostrazione siffatta. Così, p. es., il Peano: “ La pro- 2) che i postulati dell’ Aritmetica o della Geometria non pz ie di a no 8 pr ma li scegliamo di ui i ole n pts (sia pure implicitamente) e proposizioni, a QONERE a di Geometria, La dui on Vrntinta | d: RE 0 Sia Sira analisi dei principi di ques 0 AM. Pieri, «è Su Rev. de Métaphyg, la compatibilità des aziomes de l’ Ari | a et de Morale, prio 19op- enni 45 scienze consiste nel ridurre Je afferm azioni gratui Ina ivi CORO fogli it atutte al numero minore. possibile di giudizi necessarii î © sufficienti. metrici ò Sod- p unto, Possiede Geometria. Noi pensia- ino il numero, dunque il numero esiste, Una prova di consistenza sarà per altro opportuna, ‘allorquando i po- stulati siano epoteticî e non rispondenti a fatti reali (i Che la Logica — e forse anche l’ Aritmetica — oc- cupi un posto a parte fra le varie discipline Ceduliiza appare altresì dal fatto, che per l' intelligenza d’un ni stema ipotetico-deduttivo non è propriamente necessario il sapere di che cosa si parli, cioè conoscere un senso dei varii concetti primitivi. (basta percepire il nesso lo- rico e la concatenazione delle parti, il valore dedotti x di ognuna, ecc.) e il tutto può 1r0g9S) SARE per simboli logici: laddove, sotto pena di non . Sai conviene esser tutti d’ accordo circa un us À “«.g 6 buire alle frasi come “ a e d sig È pia gr Logi- non d ,, e simili, che dinotano di o a incon- ca; e alle radici stesse della Logica 3 o on vige che tra barriere insormontabili, oltre a ge io credo, Il solo processo empirico. (Per re le prime nozioni il Russel qualificava di costanti logie s irreducibili, di cui non Si apprende s l’uso; cioè per mezzo d’ esempî ® °° guaggio comune). | 1 da è in +, (34 Super theorema de Cantor-Bernstet ) Ora il sistema dei postulati aritmetici 0 geo disfatto dall’ idea che del numero, o de] ogni scrittore d’ Aritmetica o di loc. cit. i . ii ( Cai 40 Mae gta o til enni TARA: smog 0 compatibilità delle | n consistenza © * ui Ile Dotegj | TO UL I i ‘distinguono ancora © dimostrano lidi Dendoy, i (uso RAT TATE ‘ti 2 i za sioni primitive (il fatto, che Nessuna gj sj esplicitamente a Spese delle Utre) & N Jativa dei postulati (cioè che NesSUNO Agg" degli altri): cONdizioni ce dovrebbe iutte concorrere In Un perfetto sintonia Ipotetico-deduti. ma che non sono però necessarie al rigore geometri. so: in quanto dal trascurarle non viene infirmato il nesso ingico delle varie proposizioni, nè si toglie al sistema di \oter essere un tutto coerente e consequente a sè stesso, Accade talvolta, che fra due interpretazioni quali che sjano de’ concetti primitivi si può dimostrar che. inter- cede una corrispondenza perfetta, di guisa che per certi rispetti si possan confondere in una le varie classi di enti capaci di verificare il sistema: questo dicesi allora categorico, e nel caso opposto disgiuntivo. Ad un siste- ma disgiuntivo è lecito sempre congiungere nuove pro posizioni primitive (indipendenti dalle altre) così da re- stringerne il dominio: esso lascia aperta una strada è diverse possibilità; Jaddove qualunque proposizione vera, che si possa enunciare negli enti primitivi d’ un sistema Catega IC , ® È a % . LI 44% di 271100, € Sempre deducibile dalle proposizioni primitive 1 ([Uesto, pogisti va dello I* relati iu se di definil capa ipendenz® ri VO. Un piccol humero di li escludere ide. lO perciò di sa POSSANO, 0 no paragoni permette di constatare © “uivalenza ’ di due dati sistemi: bastal” Pere, se i concetti primitivi dell’ uno si PA Pre Droposizioni primitive di ciascuno sian de- += —aemsre ug si n il v iva eee —— ne PTT, PESO quoibili, 0 1% da quelle dell’ altro, Distinzioni ed 0sser- cazioni ignorate dalla Logica classica, e di cui la mo- jorna doo saper grado Mm Matematici. Il nuovo concetto ai definizione possibile ha messo in chiara luce, che privilegi attribuiti a certe proprietà così dette ‘ essenziali ’ hanno Un valore al tutto relativo, Lo differenze tra pro- posizioni affermative e negative, fra proposizioni. gene- rali e particolari, categoriche e ipotetiche, ece., furon tutte assorbite da una sola e fondamental distinzione fra proposizioni, che affermano la mutua dipendenza di due o più fatti; e proposizioni ‘ esistenziali ’, che affermano la possibilità dell’ avverarsi di due o più fatti ad un tem- po. Altre distinzioni trasmesse dalla logica scolastica alle moderne teorie della conoscenza furon del pari sottoposte ad una critica più rigorosa, e ne uscirono in certo mo- do trasfigurate, restaurate ed arricchite di nuovi e più importanti significati — p. es. quella fra giudizî cate- gorici e giudizi ipotetici (*). A logici matematici si debbono alcuni miglioramenti li non dubbia importanza, recati da poco tempo alla teoria della definizione. E prima di tutto lo schema tra- dizionale, che farebbe consister la definizione nell’ asse- Snare il genere e le differenze specifiche, — ossia nel “ercar delle classi, onde quella che si vuol definire ri- Sulti per prodotto logico — venne allargato in maniera Mito se il caso (molto più generale) lan A "" definire si possa avere in funzione di classi (*) Q, | | n pat JE I Vattam, ‘ Il Pragmatismo e la Logica matem. ? loc. cit.) pr Tr -——— Beans" 48 £- i pera cao b; a n i operazioni quali che sano, Durchè “i ( Pe" riori, 0 in ‘altro modo aequisite: Poi ago ‘ci si dilataron per. altri versi, pri soddisfare 4 VIBOBR che subiamo 8Pesgso ofinire non UN termine siii ma pile Di frage, ar quel termine comparisca in uno Speciale atteggia. mento: onde, sotto forma digit: e dii ie 81 confor. mara il fatto (intravisto già da ATO, che Je defi- visioni di parole isolate appartengono, in qualità di sem nlici modificazioni 0 casì speciali, alla grande categoria delle definizioni emplicite; e st legittimaron quelle, che il Peano chiamò definizioni per astrazione, le quali tolgon motivo a creare un nuovo concetto da ciò, che una qual- che relazione manifesta di possedere alcune proprietà car- timali dell'eguaglianza (come p. es. dal fatto, che due quantità di merce, atte a permutarsi con una stessa quan- tità di altra merce, si scambiano anche fra loro, nasce i concetto di ‘ valore A ecc.). eis vpi non solo ha posto in chiaro, “ovare della definibilità d’ una data parola o di x Male “oncetto è cosa priva di senso, fin tanto che bon 5 8appia con Precisione di quali E, le o con- ‘AM BI vuo) far Uso nella d A ni età, to Una spiegazione del ui definizione; SA Inoltre ha da Dortanti di scienza 6 fil ‘ he parecchi termini molto na Melli, di cui non g; Osofia si trovano appunto ag “e una d “rebbe ragionevole il chiedere 0 = efinizion #3 a scolastico: ed ha pé noto, n ori an0osso * priori, Uri È I esi più elast i n | QUIS © IN senso oo bregiudizio agnostico, che di 00° li ‘ontribuito 6 ni Aa 1A De 4) tie La TR RI 1 0g I I no, e a PE cApnertt hoy dello com (1), #4 La fusione progrensiva della Logien con Ja Matoma: rica — cho ni compieva Implieltamente, 6 quasi Pronti sciamente, nei Invori di Hoole, Behrbder 6 €, Petroo da an Into, è di Wolorstrass, Cantor 6 Perno dall'altro — costituisce senz’ alcun dubbio un fatto di somma impor: tanza per la filosofia delle matematiche, Una riforma di così gran conseguenza domandava un’ esposizione siste matica, che fosse come una sintesi dei molti studi, che hanno concorso a produrla, Questa sintesi è stata ten- tata di fresco e con esito nssai promettente, da Be mxpo Russe nel 1° volume di un’ opera su “ I pria cipii delle Matematiche ,, (Cambridge, 1903): la quale ricapitola, discute e coordina i risultati d'un gran nu- mero di ricerche critiche sui fondamenti delle matemati- che, e Je nuove teorie che son nate da queste ricerche. È insomma un tentativo di ricostruzio logica di tutta quanta Ja matematica ‘ puri | 4 la ‘ “| ì » 00 vd =" n E n LO p pe re | da LI = e | na ai | A: ‘ P È x 2 è sà i Yi, % sd ; n 4 . i fi Ù da ah matematica in una ‘ definizione nom: dottrir iitivi di quella; per ognuno di quad pun sconveniente interpretazione nel vasto Pitt, cane” “sioni logiche. In grazia, a codesto artificio Ra se np opportuno in un lavoro di in Po purea concludere, che tutte quante le i > ù matematica ci AERITANO ia A nove COMCEtt »rreducibili (costanti logiche) e riposan su dodici Dropo- cìzioni ‘ndimostrabili; che sono appunto le idee Drime e ali assiomi della Logica, 0 (come altri direbbe) j datj a priori, o ì principî costitutivi della ragione. “ La x. : tematica (così 1’ A. sin dall’ inizio dell’ opera) è Vin “ sieme di tutte le proposizioni o giudizî della forma “ + p implica 9g "» «dove p e gq son proposizioni che con- “ templano, sì }' una che l’ altra, le stesse variabili, e “ non includon costanti, da quelle logiche in fuori ,.— Togliendo a materia, o soggetto, di codeste inferenze le- giche certi ordini di fatti naturali, si avrebber le mate- matiche applicate; benchè non appartenga alla matema- tica in sè il riconoscere, sin dove que’ fatti si pieghino a Verificare i principî e le ipotesi d’ una teoria matema- tica astratta. I Se non che fra quei canoni o postulati della ragion deduttiva — i quali, secondo il R., bastan da soli a I sca - att matematico — non Agura Mr Stenziale; vale a dire nessun giudizio gingola , del concetti prim fama 0 i f Rin > possibilità di ‘oggetti capaci di comportarsi nel | Ul altro modo. Ipotesi di questa sorta occorron In QUaAsi tutti è _» AMT ! tutti i sistemi matematici, che da quelle mA*° ti 4 ® di 14 fl" i L E d 2 i A "D per ) ro” Vidic E ditta ° Lo fe ii - 5a f 3553 è 3 € Ale ES — ci iciii "5 ca ra 28288 Cn © >: = DR: ponti È poi - E CL. E = s È 3 É 5 E @ - ] inca . te r. eo P de] con PIPMESINORO SLI pari). Sotto RI } to questa restrizione pare n A è legittima la conclusio re a le matematiche non abbian d’ ne del R., che costituirsi ,..___—’— ‘Mobo di proprii assiomi ver OSURWITSI deduttivamente; ma c) di pi; retierali n n Ia che bastino a ciò Je più BeNerali premesse comuni e gi nuà a: i ° BI può dir necessarie ad ogni umano discorso (ben g'intende. ove « | PROT, OA “He, Ove si congiungano a que- ste le definizioni logiche dei vari; des egg sicchè, in fond “ anil concetti matematici); co- tod I | °, Siano una sola e medesima cosa il me- odo deduttivo «€ ti Il uiiaià 0 logico e il metodo matematico. o discorso volge al suo termine, e non ho che ap- pena adombrato Je difficoltà che si elevano e i dubbi che si muovono contro la concezione logica delle mate- matiche astratte; se non addirittura contro tutto il nuo- vo indirizzo logistico, che vorrebbe escludere dal proces- s0 dimostrativo qualunque elemento arbitrario ed autono- mo, qualunque mezzo o spediente anarchico; e bandire insomma ogni foggia di deduzione e ogni strumento di analisi, che non siano debitamente censiti e qualificati. Fu sempre in onore sino dai tempi del Kasr l’obje- zione -— oggi rinfrescata dall’autorità d’un illustre scien- ziato (*) — che se la Matematica fosse veramente una disciplina formale; dunque obbligata a procedere da un piccol numero d’idee fondamentali, operando con norme fisse e inviolabili, ben numerate € distinte — se insom- #,% | Vatis i I tia- ma le sue verità fozsaro analitiche in og I abi GT o jJorido no — come avrebbe potuto mai consesiure l fecondità di cui si vanta @ buon drit- sieme dei numeri me ben fondat sviluppo e la e et l'Hypothèse ®, p. 19. (+) H. Porxcark, È La sc eru î ; è Mo # : - 54 SR in dovrebbe piuttosto consistere jin Derpet to? O ne I in affermazioni del tutto ovvie e ban Ue ri, ali, Con» ‘ntieitamente nelle premesse; e risolvergi tenute implie itamente ] Isolversi Dertanto ‘n una vasta e infeconda tautologia ? Dunque. gj petizioni, Stima che Mento li Logica, senza riflettere che il metodo logico non può la Matematica null'altro sia che un prolung; andare che dal generale al particolare 0 dall’ eguale a l’ecuale, e che la deduzione non può mai sollevargi dal particolare al cenerale ? D'onde verrebbero allora quelle stupende generalizzazioni, di cut si fa bello ogni ramo della matematica ? E un fatto, o Signori, che J'Aritmetica, la Geometria e Je altre discipline fin quì elaborate con norme rigoro- samente logistiche, contemplano Je stesse cose, arrivano alle stesse conclusioni e riproducono in somma gli stessi corpi «di dottrine, di cui s'ebbe già cognizione per vie più sollecite, con l’aiuto d’altri strumenti o di mezzi più gros: solani. E un fatto si è, che persino la Logica formale, com è istituita, ad es, nel Formulario mathematico di Gi. Peano, è proprio tutt'altra ‘cosa che una pura e sempli ce tautologia; chè anzi vi trovan posto parecchie gen® 5 n sta tutto simili a quelle, che incontriamo Si ittiche (p, es. nell’Algebra) e in nessun M° Ss Via d’appelli all’intuizione 0 plt'etpatelo Rica n Diutttosto da vedere come sia sorto Il ul le: + intanto Sterilità della Logica e del sù; ci "0 dialettico; e cercar di spiegare la maraviglio Bil fecondi : Ità della “ TRVero ben deona ai e a “degna di meraviglia che’ — - SEZ SÒ discipline, dove l'intrecciarsi in Ogni senso e il moltipli carsi all'mfinito di Conseguenze ottenute per sola virtà di raziocimo da poche proposizioni giù note ol ammesse per vers, costituisca un mezzo euristico 8pesso più efficace e più valido, che non l’esperienza e l'osservazione diretta (sia pur diligente e assistita da buoni strumenti); e dove que- sto è anzi l'unico mezzo che serve, non solo ad evocar cose vecchie o giù note, ma ben anche a scoprir nuove leggi e nuove relazioni. E che questi rami di scienza, lungi dal mostrarsi a noi stazionarii o non progressivi, sian proprio quelli, dove il crescere delle conoscenze è più rapido e 1 frutti ne son più sostanziosi! — Si ha un bel dire, a proposito dei sillogismi onde risulta una scienza così fatta (poniamo la Geometria) che tutto ciò che si afferma nelle conclusioni è già implicitamente conte- nuto nelle premesse. Che è questo, insomma, se non ri- conoscere — per via d’ una rozza e poco appropriata metafora — che le proposizioni tolte in ufficio di fon- damentali bastano da sè sole a produrre tutte quante le conclusioni, senza ulteriore concorso dei sensi? E però quella massima non sanziona un difetto, ma piuttosto un pregio e un vantaggio del processo deduttivo sol 'inditto vo; nè può aversi per objezione contro l’uso del pillogi: smo- chè tanto varrebbe n dispregio dell’arte scultoria Il tatua è già tutta implicitamente nel togliendo il superfluo, la estrae gine del Buonarroti (*). dire, che una bella $ masso, d’onde l'artista, — giusta la poetica imma i e strumento di ricerca * (loc. (*) G VAILATI a tarsi di ripetere in perpetuo ‘ A è A”, ‘ A non è BE n A presso a poco. Qual mera viglia, se così AES e s’ingra indi. Da: A oltre misura Ja distinzione tra giudizii analitici e sint etici? — È Costretti gli uni (i giudizii analitici) a restar negli angt & | sti confini di cotali insulse ripetizioni, avvinti. alle Dr rili tautologie, che gi avevano per patrimonio della | Lo — 5164 pura, era ben Naturale, che a tutti gli altri si cer n. Casse una | cai | se una base fuori della ragione; che i primi. si 8 È, gi mein nti d spiegare il fees Sl: Il potere qj se ai giudizi sintetici. si i - Duramente logic; ost le nontee cognizioni. A de az Sciute, hi n "70 sola capacità di esporre. NIRKES 2a contro, ; to e. *dagogi SCR di dattic: SE de ve, P° % iu; ca si; lb Si arl e sempre l'effetto e iaia 57 di operazioni extralogiche, svolgentisi nelle profondità misteriose ed oscure dell’intuizione | Se non che questo modo di vedere pare oggi oltre- passato, e di buon tratto. Le indagini logistiche misero in sodo, che i pochi principii a eni alludevo poc'anzi sono radicalmente inetti a giustificare da sè soli Ja massi- ma parte dei raziocinii, che tutti riconosciamo per orto- dossi e legittimi. Il meccanismo della ragion deduttiva apparisce oggi assai più ricco d’ingegni e di ruote, as- sal più complicato e più vario, che non si credesse nn tempo. Se così è, se l'albero logico sorge in realtà da più ceppi e si nutre da molte radici, ben s'intende come pa- recchi e varii principii associati in una stessa deduzione possano dar conseguenze non implicate da alcuno di essi in particolare: dunque più generali di ognuno. Non sen- za ragione il Leibniz designava col nome di combinato- ria l’arte d’inventare per mezzo del raziocinio. Un ma- tematico, avvezzo alla straordinaria fecondità e alle sor- prese del calcolo combinatorio, non fa gran caso di udire ad es., che un piccol numero di postulati sia capace di generar conseguenze inesauribili. + Qualsivoglia deduzione logica ne arreca, generalmente parlando, un’ economia di lavoro; € ci porge, nelle sue conclusioni, qualche nuovo fatto — che altrimenti non conosceremmo, senza l’aiuto di particolari esperienze. Dun- que ci spinge avanti d’ un passo sulla via del sapere, non meno d’ un risultato, che emerga dai laboriosi pro- cessi dell’ induzione. Si dovrà perciò dire che quella Com- binatorin è un metodo sintetico ? Dicasi, e non faremo Rae esdreiài quistiono ili purchè 8° intendano sintesi p parole; ut rogrich® iptellettuali, che nulla ripetano. dall’ in n. © ogieh® ita sonsibiile; © quando PUT gi voglia be; loro ET i sn Re: : qualche intuizione, sia questa un’ eretwizio n. a dire una apercezione di fit. consognionze, © null’ altro. non gi possa disconoscere alla I certo potere di generalizzazione, ( maggiore nella Logica applicata; 0 pai discipline, dove intervengono postwta es consistenza e vigore al discorso. Uno dei e don tico consi una ale, vale princi" 0 —— e-@ ai sul”. 59 ‘in Geom.* Projettiva, i principî di Hamzlton e di Herz ‘n Meccanica—si prestino a rappresentare, abbracciare e compendiare un numero immenso di fatti. “ > * Per certo non chiederemo alla Logica quello che non può dare ; come sarebbe il charirci intorno al fatto psi- cologico dell’ invenzione. Ma in che si distinguerà 1’ in- venzione vera dalla falsa, se non perchè l’una si può, prima o poi, dimostrare e giustificare logicamente ? L'in- venzione non acquista valore di verità, finchè non è di- mostrata. Ed anche sotto l’aspetto psicologico, il suggel- lo a cui si conosce l'invenzione vera non è già l' esser questa generata da un capriccio d’immaginazione e da fantasie, come tante ne vengono ai bambini ed ai matti: ma sì da una certa logica istintiva e prudente, che per essere inconsapevole, non è meno conforme alla Logica cosciente e riflessa. Quella non fa che anticipare, con un | vago presentimento —che è come il fiuto della ragione— I gli atti della Logica discorsiva. Dunque nessuna opposi- zione fra l’euristica e la dialettica; le quali anzi vanno d'accordo, secondo una certa armonia prestabilita Ck La scoperta diretta e immediata per intuizione genia- le, la divinazione artistica, avranno sempre grande stato € potere nel regno della conoscenza: ma opporre il fatto dell'invenzione ai progressi della Logica dimostrativa sa- (") L. Courunat « La Logique et la Phylos, contempor ». er do Mé. 4phys, et do Morale, maggio 1906. } vr PIL! d ii rp, fede e valore al contrappunto i ino 60 negar rebbo com® Sion musicale. Nelle objezioni di «qu Ù : si A ; distingue abbastanza (io credo) Do im sorta non" | assetto statico © razionale d’una dige tes a) i PRA. alita operative © dinamiche, Le | gole sue d ts: vistiche (conviene riconoscerlo) mirano: iù a statico delle varie discipline deduttive e: AA po di verità stabilite, che alla landa a, na gcientifici tendenze 10 I° equilibrio scienza, come cor operativa della scoperta scientifica. du xè si creda, che i progressi. nell’assetto logi 4 0 delle C | matematiche siano per nuocere allo sviluppo delle £ A tx intuitive ed artistiche. Perchè, mentre si fo sa Mi cresce il dominio della ragione positiva, cresce fo mt i tempo e Si allarga Ja zona di confine fra “que est £ le altre regioni del sapere (che nuovi ‘e maggio ori a pe: & sti compensano del terreno ceduto) :. e così. al | ul ne dell’istinto intellettuale , V attiv ità SMI IE! nio — che appunto. sì esercitano sj 11 scenza più ev oluta—ungi dall 7 vale; m ‘esciranno anzi accresciute in dii Di > si "OTe. d'or VELA, CATA Adi # È Ber # però dia i Îi officio, © o si to prrzci alle sue operazioni. Per es. che ina Esa. E 2° ne, potrebbe scortare e dirigere la: noetra messinesi ©a81, dove riman tuttavia dell’ in cede © dalai come È radiati È Rini % pins ai quasto piut osto. hei soddisfare Hi Pera di ‘alti, Ig 2 Nel fa della conoscen: uit 20, £ =) EVS ne ì 1 L ' I ssi, i P | Il è Li dota lì ro Ò rn Ma; i I ba lia LI Ni la (a i di cdi Ar Pe \ Mei E i a È; n w di il ni À il è 4 I n ha su : gu We ht + MP, Î LL, "a i! UM è _ r À è LEO ) * LA p \ LI i è I Î IRA di % 4 AU UI LIS è, " SN el i) 1] (01 Pi % \ "è x 62 I scolastica: on che questa, giù dl e fine “Al mpi, pare oggi troppo insufficiente allo coni Critica della ragione sarà tuttavia da istituin e nto d' una Logica meglio ui: allo o stat ge n zione al suoi te e però Ta sul fondame attuale delle scienze (* ) Me si dovrà esagerare 0 frintendere vo ui rg Nè per ciò ee della Logica formale; che non si arroga già d esser A as scienza dello spirito, nè presume occupare, 0 assoni ire tutta quanta la filosofia speculativa. Qualsivoglia dottri- | na logica presuppone delle nozioni e dei postulati a Logica stessa non è in grado di giustificare: alla dr È tica toccherà il farne stima. Ma noi teniamo per fern no, © che la Critica non possa ‘intendere con efficacia «sd È st’ opera, se non quando la Logica. abbia si ai in gran parte) il proprio “compito « denudare e circoscrivere i dati primordiali della | da cui tutto il resto procede: e che, prima. di sui u piuta l’enumerazione di tutti. i ‘principii analitici, - 1 - fe abbia il diritto di cercar fuori della. ragione w n SOS eeno a principii così detti ‘ sintetici ?. La Log ca for ì ale sar con per noi la necessaria i Sri, las pe dentic 7 sun’ ra autorità ct, È lei. sola: spette # orà di se T \ vane trio. Voler filosofare fuo © imporlî o. prestabilir RESA gione, è come prete 3: Boi. ragione, 0 © i contro la © di saltar fuori q scia di volare più su del rtmosfer rt ell ombra Le "Op si det 0) ISEE Aia CotruRar, Pira: * CovrunaT, i i a x; Z di ST INI a 1a sola La' V23 UR LARLIINI cdl To ii i + 190° dia. 23] si Ji pasti pui IT È Ui Cd È: + tai DI =“ i TAL by a = as Ma LA La") ASTRI Mi Tau 200 VRETRA \ RE URTI se Von 1 399, I > dr