Grice e Peano

 Negli ultimi anni dei xix secolo, non a Frege, ma a Giuseppe 

Peano (1858-1932) e al gruppo dei matematici italiani che lavorano 
collegialmente con lui, guardano quanti si interessano alia filosofia 
delia matematica e alia simbolizzazione dei suo linguaggio. 

In Peano^’ come in Frege, rindividuazione delle leggi logicbe e Ia 
loro espressione in un linguaggio simbolico sono subordinate ai biso- 
gni delia matematica. In un punto essenziale, lo scopo è idêntico: 
completando il simbolismo matemático con un simbolismo logico, 
potremo scrivere Tintera matematica in un linguaggio totalmente 
aíírancato dalle particolarità delle lingue naturali. È questa Tidea 
che presiede alia grande impresa dei Formulário dal 1895 in poi.‘“ 
Oltre alPinteresse logico, Peano appare anche sensibile, piü che non 
fosse Frege, al carattere internazionale di questo linguaggio, che per- 
metterà a qualsiasi matemático, quale che sia la sua lingua d’appar- 
tenenza, di leggere direttamente i volumi dei Formulario.^^ Del resto 
egli pensa che ogni altra scienza, a cominciare dal momento in cui 
avrà saputo approntarsi un sistema di segni per gli oggetti di cui si 
occupa, potrà esprimersi anch^essa interamente in forma simbólica, 
poiché troverà già costituito il simbolismo logico dei quale avrà bi- 
sogno per i propri enunciati e i propri ragionamenti. 

Ma Peano è assai meno filosofo di Frege. Non troviamo in lui 
quella profondità d’analisi che ancora oggi porta i logici che riflettono 
sulla loro scienza ad istruirsi con la lettura e la meditazione delle 
opere di Frege, come testimoniano le ristampe e le traduzioni recenti, 
Peano è anche meno logico, nel senso che si limita a enumerare le 
leggi logiche alie quali si richiamerà per la sua esposizione matema- 

Cír. L. COUTURAT, “La logique mathématique de M. Peano”, Rev. de 
métaph., 1899, p. 616-646; u. cassina, “L*oeuvre philosophique de G. Peano”, 
ibid., 1933, p. 48M91. 

" L’essenza dei simbolismo era stata esposta l’anno prima nelle Notations 
de logique mathématique\ esso sarà progressivamente perfezionato nelle succcs- 
sive «lizioni dei Formulário. 

** Ê questa preoccupazione che ha condotto Peano ad elaborare, per la 
parte non simbólica dei testo, una lingua internazionale, Interlingua, in cui 
sarà pubblicato il Formulário dalla 5* edizione in poi. 


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Peano 375 


tica, senza organizzarle in un sistema deduttivo: gli serviranno per 
presentare Tarítmetica in forma assiomatica, ma il lavoro di assioma- 
tizzazione in lui non risale sino alia lógica stessa. E neppure coltiva 
Tambizione dei logicismo: le proposizioni che servono di base alia 
sua aritmética sono poste come postulati, non dimostrate come teo- 
remi di lógica; e i termini che esse contengono sono posti come 

primitivi, non definiti in termini di lógica. Giudica addirittura impossi- 
bili tali riduzioni.* Alcuni si rammaricheranno di questa timidezza, 
altri loderanno Peano per la sua prudenza. Ma se il suo proposito è 
piü modesto di quello di Frege, la sua importanza nella storia delia 
lógica, almeno a scadenza immediata, è stata maggiore; giacché la 
sua ideografia, piü maneggevole di quella di Frege,e il cui uso i 
matematici impareranno attraverso Timpiego che ne verrà fatto nel 
Formulário,^ è infine divenuta, con alcuni ritocchi e aggiunte che 
saranno apportati da Whitehead e da Russell, la língua comune delia 
logística. 

A proposito deli'ideografia peaniana, Padoa osserva che “se la 

scelta dei segni per mezzo dei quali si rappresentano delle idee è 

subordinata unicamente a esigenze di comodità e di chiarezza, la 
liberta di scelta delle idee che conviene rappresentare con segni è 

limitatissima”.^^ Per la scelta delle idee fondamentali, Peano afferma 
di ispirarsi largamente alFalgebra di Boole e dei suoi successori. Ma 
siccome progetta non già di integrare la lógica alia matematica, bensl 
di completare il simbolismo matemático con un simbolismo piü fon- 
damentale, applicabile in linea di principio al di fuori delPambito 
matemático, evita, contrariamente a Boole, di impiegare i simboli 
matematici ad uso logico. Per la scelta di questi segni propriamente 

“ Arithmetices principio, Prefazione: "Se come penso questi [i termini 
primitivi deiraritmetica] non possono essere ulteriormente ridotti, non è possi- 
bile definire le idee che essi esprimono con idee poste come anteriormente 
note”. Nella sua recensione ai Grundgesetze di Frege {FJvista di matematica, 
1895, p. 122-128), contesta la pretesa di dimostrare le regole dei ragionamento 
matemático, “Queste prove sono illusorie. In realtà, poiché queste regole sono 
cettamente le piü sempÜci tra le regole dei ragionamento, per provarle biso- 
gnerebbe applicare sia queste stesse regole sía altre piü coraplicate, Sarebbe 
comunque un circolo vizioso”. 

Frege ha confrontato le due ideograíie: “Über die Begríffsschrift des 
Herrn Peano und meine eigene”, Sãchsische Gesellschaft der Wissenschaften 
zu Leipzig, Math.-phys. Kl., 1896, p. 361-378. Da notare che, quando Peano 
compose la sua ideografia, ignorava ancora quella di Frege. 

“ Non senza qualche resistenza, tra le piü note delle quali quella di 
Poincaré, che dichiarava di non capire afíatto U peaniano (Science et méthode, 
p. 168). 

” Rev. de métaph, 1911, p. 839. 


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376 Vavvento delia logística 

logici, si ispira airalfabeto stenografico di Gabelsberger. Ecco i prin- 
cipali. 

Per la punteggiatura, combina Tuso dei punti con quello delle 

parentesi. Scrive la negazione con un tratto orizzontale che precede 

ciò che viene negato. Questo segno può essere applicato a una costan- 
te o a una variabile, oppure a una formula parziale o totale, ma anche 
a un operatore. Per esempio, Peano scriverà a — Ob, dato come 
equivalente di — .aOb, o anche a.D = .b per significare che la de- 
ducibilità di b partendo da a non è reciproca. La congiunzione di due 
proposizioni a ^ b s\ indica j D e il segno può dei resto essere sop- 
presso, ab, quando non ci sia ambiguità; la loro disgiunzione (non 
esclusiva) a\Jb. La C maiuscola rovesciata, che sarà presto sostituita 
con il "ferro di cavallo”, significa “si deduce da” [deãucitur)^ talché 
d^b significa che b si deduce da II segno = può essere preso 

senza danno dairaritmetica, perché la sua funzione è la stessa, signi¬ 

fica sempre “è uguale a” {est aequalisY cosi a — b significa la stessa 
cosa di <Ob . bOa. Se le proposizioni a q b contengono degli elementi 
indeterminati x, y, allora aDxy...b significa “per qualsiasi x, y, la 
proposizione b si deduce dalla proposizione < 2 ”. II segno A simbolizza 
il falso o Tassurdo, due nozioni che apparentemente sono considerate 
sinonimi, secondo un uso corrente noi matematici. 

Per le analogie riconosciute da Boole tra il calcolo delle proposi¬ 
zioni e il calcolo delle classi, troviamo in quest^ultimo alcuni sim- 
boli comuni, ma che assumono allora un significato leggermente dif- 
ferente, 1’ambiguità essendo dei resto evitata nel contesto; il segno 
A simbolizza la classe vuota, il "nulla”, e il segno 0 Tinclusione di 
una classe in una classe. Ma un’innovazione capitale, che configurerà 
la specificità dei calcolo delle classi nei confronti di quello delle propo¬ 
sizioni in cui nulla di analogo le corrisponde, è Tintroduzione dei 
simbolo e per indicare Tappartenenza di un individuo a una classe; 
X ta s\ legge x è un a. Una scrittura come xOa è bandita. L’appar- 
tenenza di un individuo a una classe deve infatti essere accuratamente 
distinta dalPinclusione di una classe in una classe, non avendo le due 
relazioni le stesse proprietà formali; una è transitiva, Taltra non lo 
è. Nulla vieta allora di considerare, da un certo punto di vista, una 
classe come un individuo, con le caratteristiche ad essa confacenti in 
quanto totalità; ma proprio per questo è particolarmente importante 
distinguere tra appartenenza e inclusione, quando il soggetto delia 
proposizione designa già una classe. Gli apostoli sono dodici non ha 

** Osserveremo che Peano non distingue ancora tra Timplicazione “mate 
rí ale” e la relazione di conseguenza lógica. 


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KusseU 377 


la stessa struttura né le stesse proprietà logiche di Gli apostoli sono 
discepoli di Gesü; non possiamo per esempio concluderne che Gio- 
vanni, essendo apostolo, è dodici. Per conseguenza, come Peano non 
tarderà a rendere esplicito, dovremo distínguere tra una classe sin- 
golare e Tindividuo unico che essa contiene: non bisogna confondere 
una scatola di fiammiferi con Tunico fiammifero che vi troviamo, le 
due cose non hanno le stesse proprietà. Questa distinzione ne richia- 
ma un’altra. In aggiunta zWogni e al qualche che si applicano aí 
membri indeterminati di una classe, occorrerà un simbolo speciale 
per introdurre un soggetto singolare quando questo è designato non 
con il suo nome proprio, ma con una espressione descrittiva che si 
richiama a un concetto o a una classe, ed è introdotto di solito con 
Tarticolo definito singolare. Per quest’uso Peano si serve dello iota 
rovesciato e scrive \xta a significare **Vx che è membro (unico) 
delia classe a*\ 

Vediamo che Tintroduzione delia lingua simbólica di Peano non 
si riduce a un semplice cambio di scrittura e che il suo interesse non 
si limita al fatto d’esser servita di punto di partenza per la simbólica 
russelliana. Ponendoci a tradurre in simboli precisi le relazioni ma* 
tematiche e il procedere delle dimostrazioni, ci troviamo in obbligo di 
stabilire delle distinzioni o delle nozioni sino ad ora inawertite. Mos- 
si dal proposito di esprimere simbolicamente le operazioni delia dimostra* 
zione matematica, gli autori dei formulário sono portati a sviluppare la 
lógica al di là delle forme gíà esistenti e particolarmente a comple- 
tare e a rettificare Topera di Peirce e di Schroder. Un difetto delPal- 
gebra di Schroder è proprio quello di non aver riconosciuto 1’irriducÍ- 
bilità delia nozione di appartenenza; è uno dei maggiori rimproveri 
che gli muoveranno, ciascuno a modo suo e con la sua própria termi¬ 
nologia, Husserl e Frege Cosi le esigenze dei simbolismo provo- 
cano un approfondimento nelPanalisi delle idee logiche fondamentali. 

” Nelle loro recensioni alie sue Vorlesungen: husserl, in Gôttingische gflehrten Anzeigen, 1891, p. 272 e segg., e frege, néíl*Archiv für systematische Philosophie, 1895, p. 440 e segg.