GRICE E VAILATI

 La  Grammatica  dell  Algebra.  ^ ^   iRivisla  di  Psicologia  Applicata,  n.  4,  luglio-agosto  1908).    r 7 A Parlare  dell’algebra  come  di  un  linguaggio.   Sommario:  Ih  che  senso  ^ f Quali  sentii  corrispondmio  tn  al~   e di  una  sua  speciale  J.  Come  si  presenti  in  algebra  la  distin-   gcbra  ai  verbi.  Loro  carcittere  r . V-  ■ l'altra,  ad  ussa  corrispondente,  tra   ìionè  tra  verbi  transiti^  e verbi  ^ _ Dei  verbi  molteplice-^   nomi  (o  aggettivi)  r elativi,  e gH^izioni  Carattere  grammaticale  dei  segni   mente  transitivi,  e dell  / caratteristiche  dei  segni  di  uguaglianza   j • fiirtincri  e oarlando  di  essa  come  di  uno  spe-  LParlando  di  algebra  a dei  attribuire,  alla  pa-   ciale  linguaggio,  devo  pregarli  d , P ^ essi  le  attribuì-   rola  . linguaggio  >.  ^ astrazione  da  un   scono  ordinariamente  .di  studiano  — i quali  tutti  hanno  per  loro   carattere  comune  ai  ^‘"^‘'^^^^^^ttendomi  di  applicare  lo  stesso  nome  anche  elementi  delle  «parole  » P^^  rivolgono  ad  altri  sensi  che  non  siano   ad  altri  sistemi  di  segni  eh  , f„n7inni  dei  linguaggi  propriamente  detti,   radilo,  adempiono  wttavia  alle  tCTfpo^J^   e„  „r„SS'e  ^.-—nLròne,  piò   pir"arhVL“rr^^^^^^^^  « UpÓ  . Ideo^radoo  nel  ,uall  le  ooae    [11  .ommario  e le  pari.,  che  ,u  „„p„ve  ..ella  Xmsh  *'  «to-   parentesi  quadre,  non  furono  mclus  carte  del  Vailati,  che  a lu.   servi  per  la  Comunicazione  da  lu  p • ^ grammalicali  e sintattici  del  lingnaggto   delle  Scienze  (Firenze  1906)  sotto  il  ti  . Rivista  di  Scienza  (voi.  VI,   algebrico,  e che  in  parte  fu  riprodotto  in  una  i^Algèbre  ati  point  de  vue  Hngui-   anno  III  [1909].  n.  XII.4),  intitolata  : PiiLr  it^de  de  l Algebre  ? ^   stiquei\    GIOVANNI  VAILATI    ai  cui  si  voleva  comunicare  Jos^'dvano  il  nome  nel  Un-   scura  alcun  riferimento  ai  gruppi  d,  suoni  che  ne   guaggio  parlato.  rappresentati,  di  quei  rapporti   Per  indicare  il  sussistere,  tra  g i ogg  ^ proposizioni,  le  scrit-   che  dai  linguaggi  parlati  sono  espressi  m principio  ad  espe-   ture  di  questa  seconda  specie  dovetter  affatto   dienti  (alterazioni  nella  forma,  nell  ordine  g > preposizioni,   analogo  a quello  che,  nelle  Imgue  parlate  etc.   ai  segni  di  predicazione,  d ;Jggiare  interesse  per  quei  sistemi  di   L’esame  di  tali  espedienti  presenta  panico  ^ „,,iea.  ve-   notazioni  ideografiche  che,  come  cs-  g ordinaria,  subiscono  in  certo   nendo  impiegati  contemporaneamente  alla  ^ avrebbero  finito  per  soc   .nodo  la  cencorreusa  di  questa,  p.eferibill  per  1 partico-   combere  se  qualche  speciale  carattere  no   lari  uffici  ai  quali  sono  applicati.  dell’algebra,  la  ragione  di   Dire  che,  nel  caso  che  ora  c,  Jgg,or  brevità  e pre-   tale  preteribilltà  stia  nclPattltudlne  sua  a j ancora  rlsob   cislone  le  proposizioni  relative  a.  numer  determinare  da  quali   vere  la  questione.  04  che  Importa  dipendano  : Uno  a che   circostanze  le  suddette  proprietà  del  >■”^8,  geografiche  al  posto  delle   punto  cioè  esse  si  riconnettano  f ‘j; ‘7^'®°„gÌ„o  .“orso,  fatto  dall’algebra,  ;role.  e per  nurdrpontTltguagglo  parlato,  per  dare  senso   alle  Afferenti  combinazioni  dei  esempio  caratteristico   sto.  non  certo  nel  fatto  che  le  cifre  sia  P ^,e„e  attribuita   ^alrmrrrsrrg^Sa"^  della  posizione  che  esse  occupano  in   hT  prop™^^  f rrti   soprattutto  da  attribuire  i strumento  di  ricerca  e di  dimostra-   che  come  mezzo  di  ^a  avere  indotto  uno  dei  piu  grandi   zione.  Tali  vantaggi  sono  rivolgere  modestamente  a sè  stesso  una   ^a^  cbe  è rivolta  dallo  Schiller  a un  poeta  pre-   suntuoso, in  quei  noti  versi .   pi  confronto  tra  i “cTriuogo'*!’ impiego  dei  segni   derivano  dall’  impiego  delle  . q un’altra  distinzione  importante   dell'algebra,  si  P""“  ehe  occorre  fare  tra  i sistemi  di  notazione   ^;:.'lomTa;;unT:df’e  de, .'aritmetica,  o le  note  musleaii,  hanno  solo  I uf-    LA  grammatica  DELL’ALGEBRA    873    ^ mnorre  nei  loro  elementi,  dati  gruppi  di  sensazioni  fido  di  descrivere,  e di  decom  ^ ^pp^nto  il   0 di  azioni  complesse,  e queg  ,,  chimica  — si  presentano  come  capaci   caso  dell’algebra  o '5'“'  ^ , in  parole  e frasi  del  definirla  o caratterizzarla  m modo   f perrtlirco'nicio  chiunque  abbia  coll’algebra  una  sufficiente   -f;:Ìadiffierenzachesiba--^^^^^^^^^^^   à^e   potr^rcorr—  'linana,  le  proposizioni  relative  ai  numeri  e alle   loro  proprietà.  differenza  equivale  ad  ammettere  implicitamente  che   Il  riconoscere  una  tale  differenz  ^ espressione  e come  strumento   la  speciale  efficacia  ^°^t^ibuire,  non  tanto  all’  impiego  che  in  essa   di  ricerca  e di  '"arposto^^^  parole  del  linguaggio  or-   dintio!  q^a^P^uttostra  delle  parti’colarità  di  indole  . sintattica  ».  meren  i  "Esamffiar'e  iTche  cosa   guaggio  algebrico,  ricercare  ^ ^ e propriamente  dette:  que-   riscontrano,  in  maggiore  o minor  grad  J . sembrano  bene  degne  di   Tra  le  distinzioni,  che  si  trovano  *‘“‘I,elle  che  si  riferiscono   rittcair;‘:.rc:ot^^^^^  - --    874    GIOVANNI  VAILATI    Una  frase  spesso  ripetuta  dai  linguisti  (‘),  colla  quale  essi  tentano  di  precide  ciò  che  costituisce  il  tratto  caratteristico  di  un  vero  . linguaio  >,  hi  opposizione  alle  forme  meno  perfette  di  espressione  istintiva  di  stati  d amm  .  qualf  si  riscontrano  anche  negli  stadi  inferiori  di  sviluppo  della  vita  animale  .   ' la  «pcriiente  • « il  linguaggio  comincia  dove  le  interiezioni  finiscono».   Se  noi  ci  domandiamo,  alla  nostra  volta,  in  che  cosa  differiscano  effettiva-  mente le  interiezioni  da  quelle  che  i grammatici  chiamano  le  altre  . parti  del  discórso  , ci  accorgiamo  subito  che  esso  sono  le  sole  parole  che,  anche  enun-  flTLàtalnte,  bastano,  per  sé  stesse,  a esprimere  -^^Ye   Qualche  opinione,  di  chi  le  pronuncia,  mentre  le  altre  specie  d .   i nomi  eli  aggettivi,  i verbi,  etc.,  non  possono,  d’ordinario,  servire  a a e p  se  non  comparendo  raggruppate  le  une  insieme  alle  altre,  in  modo  da  dar  uogo   a una.  frase  o a una  proposizione.  ^ .   Quando  emettiamo,  per  esempio,  il  suono  brr,  o il  suono  " • ^  biamo  bisogno  di  aggiungere  altre  parole  per  fare  intendere  a  ^Ze  che  "sentiamo""del  freddo,  o che  desideriamo  che  egli  non  faccia  nimore.  SeTnvece  pronunciamo,  per  esempio,  il  nome  di  un  oggetto  --a  accompa-  gnarlo con  qualche  parola  (o  gesto),  che  indichi  cosa  vogliamo  dire  di  esso  -  fhe  diefiii  cioè:  se  vogliamo  dire  che  lo  vediamo,  o che  lo  desideriamo,  o  fotmilmo,  ; che  ne  aspettiamo  la  comparsa  etc.  aifatto  alcuna  nostra  opinione,  o disposizione  d animo,  ma  al  piu  segna^  liamo  che  stiamo  pensando  a quell’oggetto,  senza  dire  nulla  di  ciò  che  ne  pen   segue  che  le  interiezioni  possono  qualificarsi  come  quelle,  tra  le  parole  del  nostro  linguaggio,  che  hanno  più  . significato  » di  tutte  le  akre,  e in  cer  o  modo,  come  le  sole  che  ne  abbiano,  quando  sono  prese  a se.  mentre  altre  sono  soltanto  capaci  di  acquistarne,  nel  caso  che  siano  assunte  a far  parte   una  frase  che  ne  abbia.  ..   L’affermazione  riferita  sopra  equivale,  dunque,  a dire  che  il  « vero  lin-  guaggio » comincia  con  la  prima  introduzione  di  parole  che,  prese  per  se  stesse  non  hanno  alcun  significato,  e che  di  tanto  un  linguaggio  e °   più  rilievo  hanno  in  esso  le  parole  che  si  trovano  in  questo  caso,  di  front  litro  che,  anche  enunciate  isolatamente,  esprimono  qualche  opinione,  d’animo,  di  chi  le  pronuncia.   Si  ha  una  conferma  di  ciò  nel  fatto  che  le  parole  che  hanno  meno  senso  delle  altre  - quelle  cioè  alle  quali  è necessario  aggiungere  un  piu  grande  numero  di  altre  parole  per  ottenere  una  frase  che  voglia  ^   sono  apppunto  quelle  che  compaiono  piu  tardi,  tanto  nello  sviluppo  storico  dei  linguaggi,  quanto  nel  processo  individuale  del  loro  apprendimento.   Tra  tali  parole  sono  da  porre,  in  primo  luogo,  le  preposizioni,  in  quanto  esse  hanno  l’ufficio  di  indicare  le  varie  specie  di  relazioni  che  possono  sussi-    fi)  La  trovo  citata  tra  gli  altri  da  G.  Zoppi,  nel  suo  volume  sulla  Filoso/ìa  della  Gram-  malica  (Verona,  1880),  che  ho  trovato  pieno  di  osservazioni  suggestive  sull  'argomento  qui  trat  o.    LA  GRAMMATICA  DELL’ALGEBRA    875    stere  tra  gli  oggetti  di  cui  si  parla.  Esse  infatti,  appunto  per  questa  ragione,  non  indicano  assolutamente  nulla  se  non  sono  accompagnate  dalle  parole  che  denotano  gli  oggetti  tra  i quali  si  asserisce  aver  luogo  la  relazione  che  ad  esse  corrisponde.   Così,  quando  pronunciamo,  per  esempio,  le  parole  : « accanto  *,  « sopra  »,   « dopo  »,  etc.,  senza  indicare  quali  siano  le  cose  di  cui  intendiamo  affermare  che  runa  è ^ accanto  » all’altra,  « sopra  » l’altra,  etc.,  noi  non  comunichiamo  a chi  ci  ascolta  alcuna  determinata  informazione  sulle  cose  di  cui  parliamo.   A considerazioni  analoghe  si  presta  il  confronto  delle  varie  specie  di  verbi  e,  in  particolare,  la  distinzione  espressa  comunemente  con  l’opporre  i verbi  « transitivi  » ai  verbi  « intransitivi  »,  — col  porre  in  contrasto,  cioè,  i verbi  che,  come  per  esempio  : « desidero  »,  « respingo  »,  « nascondo  »,  « indico  »,  etc.,  richiedono  che  alla  loro  enunciazione  segua  l’indicazione  di  qualche  « oggetto»  al  quale  si  riferiscono,  coi  verbi  che  invece,  come  per  esempio:  « dormo  »   « cresco  »,  « rido  »,  « muoio  »,  etc.,  non  hanno  bisogno  di  alcuna  ulteriore   determinazione  o specificazione  di  tal  genere  (^).   Qui  è tuttavia  da  osservare  chela  suddetta  distinzione,  in  quanto  è sta-  bilita dai  grammatici  in  base  al  criterio  puramente  formale  %onsistente  in  ciò  che  il  verbo  esiga,  o non  esiga,  ciò  che  essi  chiamano  un  « complemento  di-  retto » —,  non  coincide  esattamente  con  quella  che,  per  il  nostro  scopo,  sa-  rebbe opportuno  fosse  posta  in  rilievo.   A nessuno  certo  può  venire  in  mente  di  dar  torto  ai  grammatici  quando  essi  si  preoccupano  di  distinguere  i casi  nei  quali  l’ indicazione  dell  oggetto,  a  cui  si  riferisce  l’azione  espressa  da  un  verbo,  avviene  per  mezzo  della  semplice  aggiunta  del  nome  di  tale  oggetto  — ‘come  quando  si  dice  per  esempio  : « de-  sidero la  tal  cosa  » — dai  casi  nei  quali  invece  è necessario  che,  tra  il  verbo  e il  nome,  sia  interposta  una  preposizione  — come  quando  si  dice  per  esem-  pio : ,  di  certi  nomi  come  quelli  che  abbia'mo  sopra  citati,  è ordinariamente  indicato  col  qualificarli  come  nomi  « re-  lativi ».  .....   Della  connessione  tra  i nomi  « relativi  » e i verbi  transitivi  si  ha  una   chiara  manifestazione  anche  nella  possibilità,  frequentissima,  di  tradurre  frasi,  in  cui  a un  dato  oggetto,  o persona,  è applicato  un  nome  esprimente  una  re-  lazione, in  altre  ^si,  equivalenti,  nelle  quali  figura  invece  un  verbo  transitivo.  Non  vi  è,  per  esempio,  differenza  tra  il  significato  delle  frasi  : « il  tale  è nemico  del  tale  altro  »,  o « il  tale  oggetto  c più  alto  del  tale  altro  »,  e le  altre  : « a  tal  persona  odia  la  tal  altra  »,  o « il  tale  oggetto  supera,  o sopramnza,  il  tale   altro  »,  etc.   Il  matematico  e filosofo  americano  Charles  Peirce,  che  più  di  ogni  altro  si  è occupato  dell’analisi  e della  classificazione  delle  varie  specie  di  « relazioni  »,  è stato  portato  dalle  sue  ricerche  a stabilire  una  distinzione  tra  i verbi  (o  nomi  ed  aggettivi)  transitivi,  a seconda  che  essi  esigano  l’aggiunta  di  un  solo  o di  più  nomi  per  acquistare  un  significato  determinato,  per  diventare  cioè  capaci  di  affermare  qualche  cosa  degli  oggetti  e delle  persone  a cui  vengono  ap-   Sono,  per  esempio,  verbi  « doppiamente  transitivi  » (o  bivalenti  (‘),  come  si  potrebbero  chiamare  con  una  opportuna  immagine  tolta  dal  linguaggio  della  chimica),  comportanti  cioè  l’ aggiunta  di  due  nomi,  i verbi  seguenti  : « in-  segnare » (qualche  cosa  a qualche  persona),  « dare  » ( qualche  cosa  a qualche  persona),  e i corrispondenti  nomi:  « maestro  » (di  qualche  cosa  a qualcheduno)  « donatore  » (di  qualche  cosa  a qualcheduno),  etc.    (•)  Sarebbe  forse  più  proprio  chiamarli  « trivalenti  »,  in  quanto  anche  il  soggetto  rappre-  .senta  una  « valenza  ».  Sarebbero  allora  « bivalenti  » i verbi  semplicemente  transitivi,  « umva-  lenti  » i verbi  intransitivi,  e « nullivalenti  » (o  privi  di  « valenza  »)  gli  impersonali  come  « piove,  » « nevica  ».  etc.  Gli  impersonali  latini  come  « pudet  me  ».  « piget  me  » « mihx  tur  » etc.  sarebbero  « bivalenti  » come  i verbi  transitivi.  [Come  esempio  di  verbi  a quattro  « valenze  » si  potrebbe  citare  il  verbo  « scambiare  » nel  senso  commerciale  («  il  tale  scambia  con  la  tal  persona,  la  tal  cosa  con  la  tal  altra  »,  o più  semplicemente  « le  tali  due  persone  si  scambiano  fra  loro  le  tali  due  cose  »)].    LA  grammatica  DELL’ALGEBRA    877    Esempi  di  verbi  « trivalenti  » capaci  cioè,  o esigenti,  di  venire  .  o « comperare  >   («  vendo  un  oggetto  A a una  persona  B,  per  un  prezzo  C »,  « compro  un  og-  getto A da  una  persona  B,  per  un  prezzo  C »).  ....   Nel  caso  di  questi  verbi  « plurivalenti  »,  o molteplicemente  transitivi,  si  scorge  chiaramente  quale  sia  l’ufficio  che  hanno  le  preposizioni,  in  quanto  ser-  vono quasi  da  organi  connettivi,  per  applicare  a ciascun  verbo  ordinatamente   i rispettivi  « complementi  ».   [Quanto  più  cresce  il  numero  delle  « valenze  » tanto  più  cresce  naturalmente  il  bisogno  di  speciali  segni  o particelle  destinate  ad  evitare  le  ambiguità  nel-  Tassegnazione  di  diversi  complementi  a uno  stesso  verbo.  Servono  a tale  scopo,  nel  linguaggio  ordinario,  le  preposizioni  (o  le  flessioni)  corrispondenti  ai  diversi   « casi  » dei  nomi].   Finché  il  verbo,  pur  essendo  a più  « valenze  »,  è tale  che,  come  avviene  per  esempio  in  quelli  sopra  citati,  i diversi  nomi  richiesti  per  completarne  il  si-  gnificato appartengono  a categorie  cosi  distinte  da  rendere  impossibile  qualsiasi  equivoco  o confusione  tra  loro  — quando,  per  esempio,  come  nel  caso  del  verbo'  « dare  »,  l’un  complemento  deve  indicare  una  persona,  e l’altro  un  oggetto  —,  può  parere  sempre  superfluo  l’impiego  di  qualsiasi  preposizione.  Si  tende  infatti  ad  abolire  queste  in  tutti  quei  casi  in  cui  si  abbia  particolare  interesse  a fare  economia  di  parole,  come  per  esempio  nei  telegrammi,  negli  indirizzi,  negli  av-  visi economici  delle  quarte  pagine  dei  giornali.  [Se  si  telegrafa,  per  esempio  « spedite  plico  segretario  » nessun  dubbio  può  nascere  che  il  plico  è la  cosa  spedita  e il  segretario  la  persona  « a cui  » la  spedizione  è fatta,  e non  vi-  ceversa].   Ma  quando,  invece,  i diversi  complementi  di  un  verbo  appartengono  tutti  a una  medesima  classe  — quando  sono,  per  esempio,  tutti  nomi  di  persone,  come  per  esempio  nelle  frasi  : « dico  male  di  Tizio  a Caio  »,  « dico  male  a Caio  di  Tizio  » — , l’omettere  le  preposizioni  equivarrebbe  a togliere  ogni  mezzo  a chi  ascolta  di  distinguere  le  diverse  relazioni  in  cui  i diversi  nomi  stanno  col  verbo,  e a esporsi  quindi  a esser  capiti  a rovescio.   Se,  tenendo  presenti  le  considerazioni  svolte  sopra,  ci  proponiamo  di  de-  terminare quali  siano  gli  speciali  caratteri  grammaticali  e sintattici  per  i quali  il  linguaggio  algebrico  si  distingue  da  quello  ordinario,  un  primo  fatto  note-  vole che  ci  si  presenta  è l’assenza,  nel  linguaggio  algebrico,  di  qualsiasi  specie  di  verbi   (cioè  l’eguaglianza  e e oro  aree),  resterà,  per  ciò  solo,  precluso  il  suo  simultaneo  impiego  per  esprimere  qualsiasi  altra  relazione  tra  figure,  come  per  esempio,  quella  di  « egua-  g lanza  » propriamente  detta  (o  sovrapponibilità),  quella  di  similitudine,  etc.   1 inconvenienti  ai  quali,  in  casi  di  questo  genere,  potrebbe  dare  occa-  sione 1 impiego  di  uno  stesso  segno,  per  indicare  relazioni  affatto  diverse  po-  trebbero essere  evitati  in  algebra  ricorrendo  (come,  infatti,  qualche  volta  si  fa)  all  introduzione  di  nuovi  segni  che,  accanto  a quelli  di  eguaglianza  e di  dise-   guaghanza,  assumessero  l’ufficio  che,  nel  linguaggio  ordinario,  spetta  alle  di-  verse specie  di  verbi  transitivi  (,  «il  tale  edificio  è eguale  all’altro  in  altezza  ^ \ i tali  due  cliL  si  equivalgono  per  salubrità  »,  etc.   ner  T Preposizìone  è,  per  così  dire,  accidentale  ; in  greco,   cusatir^Tn  questione,  posto  All’ac-   cusativo , in  latino  si  adopera  l ablativo.   Ma  vi  è anche  un  altra  forma  che  possono  assumere  le  proposizioni  del  tipo  suddetto,  ed  e quella  che  si  presenta  nelle  frasi:  « la  statura  della  tal  per-  sona eguale  a quella  della  tale  altra  »,  « l’altezza  del  tale  edificio  ^ e.u^le  a    0 Sull  opportunità  di  ricorrere  a questo  espediente,  nel  caso  delle  relazioni  tra  gli  enti  geometrici  considerati  nel  calcolo  vettoriale,  si  è molto  discusso  recentemente  (al  Congresso»,.   tenuto  a Roma  nell'aprile  scorso)  a proposito  della  relazione  pre-  -sentata  su  tale  soggetto  dai  professori  Hurau-Fort.  (ilell 'Accademia  Militare  di  Torino)  e Marco-  LONGO  (dell'Università  di  Messina).  i ormo;  e aiarco-    LA  GRAMMATICA  DELL’ALGEBRA    883    qtiella  del  tale  altro  »,  « la  salubrità  del  tale  clima  à eguale  a q^lella  del  tale  altro  »,  etc.   Queste  espressioni,  nelle  quali  figurano,  al  posto  del  soggetto  e del  predi-  cato, i nomi,  non  più  degli  oggetti  di  cui  si  parla,  ma  delle  qualità  di  essi,  e  dei  caratteri  rispetto  ai  q,uali  essi  sono  posti  a confronto,  corrispondono  preci-  samente alle  espressioni  che  compaiono  nel  linguaggio  algebrico  quando,  per  esprimere,  per  esempio,  che  due  angoli  a,  b hanno  uno  stesso  seno,  si  scrive:  sen  a — sen  ò,  o quando,  per  indicare  che  i triangoli  ABC,  DEF  hanno  una  stessa  area,  si  scrive:  area  ABC  area  DEF.   I due  esempi  citati  — quello  del  seno  e quello  dell’area  — possono  ser-  vire a mettere  in  luce  una  differenza  che  è importante  segnalare.   Mentre  deH’affermazione  che  un  angolo  ha  un  dato  seno  si  può  definire  perfettamente  il  significato  anche  senza  considerare  alcun  altro  angolo  oltre  quello  di  cui  si  parla,  per  il  caso  invece  dell’area  il  significato  della  frase  : « la  tal  figura  ha  una  data  area  »,  non  può  venire  determinato  se  non  ricorrendo,  o ri-  ferendosi, direttamente  o indirettamente,  a quelle  operazioni  di  confronto  tra  l’area  di  una  figura  e l’area  di  un’altra  (la  quale  altra  può  anche  essere,  per  esempio,  quella  che  si  è scelta  per  unità  di  misura  delle  aree)  che  sono  richieste  per  riconoscere  se  due  date  figure  hanno,  o non  hanno,  una  stessa  area.   In  altre  parole,  mentre  nel  caso  del  seno  di  un  angolo  si  può  prima  dichia-  rare o definire  che  cosa  esso  sia,  e poi  passare  a riconoscere  se  il  seno  di  un  dato  angolo  sia  eguale,  o maggiore,  o minore  del  seno  di  un  altro,  nel  caso  dell’area  invece  tali  due  procedimenti  sono  inseparabili,  e non  possono  neppure  essere  concepiti  indipendentemente  l’uno  dall’altro.   II  modo  ordinariamente  impiegato  per  distinguere  i casi  dell’una  specie  dai  casi  dell’altra  consiste  nel  dire  che,  mentre,  nei  casi  analoghi  a quello  del  seno,  si  definisce  « esplicitamente  » un  nuovo  segno  di  funzione,  nei  casi  invece  ana-  loghi a quello  dell’area  il  significato  del  nuovo  nome  introdotto  è determinato  soltanto  « implicitamente  »,  o,  come  anche  si  dice,  per  mezzo  di  una  « defini-  zione per  astrazione  ».   Il  più  antico  esempio,  che  di  definizione  per  astrazione  ci  presenti  la  storia  del  linguaggio  matematico,  è la  definizione  della  parola  « rapporto  » (^.ó^oc)  che  si  trova  posta  a base  della  trattazione  delle  proporzioni,  nel  V libro  degli  Elementi  di  Euclide,   Questa  definizione,  che  la  tradizione  fa  risalire  a Eudosso,  consiste  infatti  soltanto  nel  determinare  esattamente  — sotto  una  forma  applicabile  anche  al  caso  delle  quantità  incommensurabili  — il  senso  della  frase  « le  tali  due  gran-  dezze hanno  lo  stesso  rapporto  delle  tali  altre  due  »,  oppure  « il  rapporto  tra  tali  due  quantità  è eguale  a (o  maggiore,  0 minore  di)  quello  tra  le  tali  altre  due  quantità  ».   Per  mezzo  di  un  tale  procedimento,  una  relazione  tra  quattro  grandezze  —  la  relazione  cioè  che  si  esprime  dicendo  che  esse  formano  una  proporzione  —  viene  a poter  essere  espressa  sotto  forma  di  una  eguaglianza  fra  due  termini,  in  ciascuno  dei  quali  figura  uno  stesso  nome,  o segno,  di  funzione  (tra  due  va-    884    GIOVANNI  VAILATI    riabili);  mentre  della  parola  « rapporto  > non  è data,  e non  occorre  c e s ,   altra  deBnizione  oltre  quella  che  consiste  nell’attribuire  un  determinato  alle  frasi  in  cui  si  parla  di  eguaglianza  o di  diseguaglianza  tra  rappor  quantità  (*).   Sui  numerosi  esempi  che  del  suddetto  genere  di  definizioni  ci  presentano  !  diversi  rami  della  matematica  e le  varie  scienze  nelle  quali  essi  trovano  apph-   C3^ion0  non  c oni  il  Cciso  di  fcrnicirsi.  « . • i   Si  ’presenta^pportuno  invece  il  domandarsi  quali  siano  le  condizioni  da  cui  dipende  l'applicabilità  del  procedimento  descritto  sopra  ; il  domandarsi,  cioè  in  quali  circostanze  le  « definizioni  per  astrazione  » siano  possibi  i,  e in  qua  casi  sia  lecito,  o conveniente,  introdurre  nuovi  segni  di  funzione  per  mezzo   di  6SS6  j   Ciò  equivale  a domandarsi  quali  sieno  le  proprietà  di  cui  deve  essere  do-  tata una  relazione  (o  una  corrispondenza)  tra  oggetti  di  una  data  classe  perche  il  suo  sussistere,  tra  due  oggetti  « e à di  tale  classe,  possa  venire  espresso  per  mezzo  di  eguaglianze  del  tipo:/«=:/^.  ove  del  segno  / non  e  finizione  oltre  quella  che  risulta  dal  significato  che  si  attribuisce  alla  forra   condizione  indispensabile  per  l’applicazione  di  untale  procedimento  è,  anzitutto,  questa:  che  la  relazione  di  cui  si  tratta  abbia  in  comune  colla  rela-  zione di  « eguaglianza  > la  proprietà  che,  per  il  caso  di  quest  ultima,  viene  espressa  dall’assioma  : Se  a è uguale  a e -5  è uguale  a r,  anche  a e ugna  e a c.   Se  infatti  questa  condizione  non  si  verificasse  — se  cioè  la  relazione  in  questione  fosse  tale  che,  dal  suo  sussistere  tra  due  oggetti  a e -5,  e tra  due  altri,   ^ e & non  derivasse  senz’altro  il  suo  sussistere  tra  a e r -,  il  servirsi  di  una  espressione  del  tipo  ; fa—fb,  per  indicare  il  fatto  che  essa  si  verifichi  tra  due  oggetti  a ^ b,  porterebbe  alla  conseguenza  assurda  (o,  ad  ogni  modo,  incompa-  tibile con  una  proprietà,  fondamentale,  del  segno  di  eguaglianza)  che,  ^lle  egua-  glianze : fa±ifb,  e fb—fc.  non  si  potrebbe  dedurre  l’altra   Per  una  ragione  analoga,  la  relazione  di  cui  si  parla  dovrà  anche  godere  di  un’altra  proprietà:  essa  dovrà  cioè  essere  tale,  che,  dal  suo  sussistere  tra  due  oggetti  « e à,  si  possa  sempre  concludere  che  essa  sussiste  pure,  all’  inverso,  tra  b ^ a.  Altrimenti  si  dovrebbe  ammettere  che,  dalla  formula  fa  =/à,  non  si  possa  passare  all’altra  fb—fa,  contrariamente  a un’altra  delle  proprietà  ca-  ratteristiche dell’eguaglianza.   [Soddisfano  a questa  condizione,  per  esempio,  le  relazioni  di  perpendico-  larità e di  parallelismo,  mentre  non  vi  soddisfa,  per  esempio,  la  relazione  di  divisibilità,  poiché  dall’essere  un  numero  divisibile  per  un  altro  non  deriva  cer-  tamente che  il  secondo  sia  divisibile  per  il  primo].    (•)  Il  nome  di  « definizioni  per  astrazione  » è stato  introdotto,  per  la  prima  volta,  da  G.  Peano.  Il  riconoscimento  dell’importanza  del  procedimento  che  conduce  ad  esse,  risale  a H.  Grassmann  {Ausikhttungslehre,  1844).  Un  notevole  contributo  alla  loro  analisi  è stato  recente-  mente apportato  da  A.  Pauoa  {Alti  del  sfi  Congresso  delia  Società  Italiana  di  Filosojia.  Parma,   settembre,  1907).    LA  GRAMMATICA  DELL’ALGEBRA    885    Le  relazioni  che,  pur  soddisfacendo  alla  prima  delle  due  condizioni  soprac-  cennate [cioè  a quella  che  abbiamo  chiamata  « transitività  sillogistica  »],  non  sod-  disfacciano alla  seconda,  possono,  per  ciò  solo,  venir  rappresentate  da  uno  qua-  lunque dei  due  segni  di  disuguaglianza,  poiché  tanto  per  l’uno  come  per  l’altro  di  essi  si  verifica  appunto  la  prima,  e non  la  seconda  delle  due  condizioni   suddette.    Le  due  condizioni  enunciate  sopra,  oltre  che  necessarie,  sono  anche  suffi-  cienti perchè  sia  lecito  il  ricorso  a una  « definizione  per  astrazione  »,  e all’in-  troduzione, per  tal  via,  di  un  nuovo  nome  o di  un  nuovo  segno  di  funzione.   La  sola  obiezione  che  qui  può  presentarsi  è quella  che  consiste  nel  dire  che,  venendo  il  segno  di  funzione  così  introdotto  a essere  definito  solamente  in  quanto  figura  in  espressioni  di  una  data  forma  cioè  in  espressioni  del  tipo  fa—fb  , esso  rimane  privo  di  ogni  significato  in  tutti  i casi  in  cui  si  vo-   glia adoperarlo  isolatamente,  o combinato  diversamente  con  altri  segni  della  stessa  o diversa  di  specie.   A questa  obiezione  si  può  rispondere  osservando  che,  allo  stesso  modo  come  si  è attribuito  un  senso  alle  espressioni  del  tipo  fa  —fb,  così  nulla  vieta  di  determinare  ulteriormente  anche  il  significato  di  altre  espressioni  nelle  quali,  da  un  lato,  o da  ambedue  i lati,  di  un  segno  di  uguaglianza,  figurino,  non  già  dei  termini  isolati,  come  fa  o f b,  mafdei  determinati  aggruppamenti  di  essi  (come  per  esempio  f a ^ /^),  composti  interponendo  determinati  segni  di  ope-  razione.   Perchè  ciò  possa  farsi  occorrerà  naturalmente  che  la  relazione  di  cui  si  tratta  soddisfi  a un  certo  numero  di  altre  condizioni,  in  aggiunta  a quelle  che,  come  si  è visto,  sono  richieste  perchè  il  fatto  che  essa  sussiste  tra  due  oggetti  a & b possa  venire  espresso  da  una  formula  del  tì^o  : f a f b.   Quali  siano  queste  condizioni  risulterà  in  ogni  caso  dall  esame  delle  pro-  prietà che  caratterizzano  le  diverse  operazioni  i cui  segni  figurano  nelle  formule  da  definire.   Il  caso  che  si  presenta  più  frequentemente  è quello  di  relazioni  tali  che,  mediante  esse,  si  possa  attribuire  un  senso,  oltre  che  alle  formule  del  tipo  •  yo!  — fb,  anche  a quelle  del  tipo  : fa  fh  + f c,  e per  conseguenza  anche  a  quelle  del  tipo;  fa—fb  — fc,  nonché  a quelle  del  tipo;  fa  — kfb,  ove  k  rappresenta  un  numero.   Si  ha  un  esempio  di  una  relazione  appartenente  a questa  categoria,  nel  lin-  guaggio tecnico  della  fisica,  in  quella  relazione  che  si  esprime  dicendo,  di  due  dati  corpi,  che  essi  hanno  una  stessa  « massa  »,  o due  masse  che  stanno  fra  loro  in  un  dato  rapporto  (*).   Un  altro  esempio  ci  è fornito  da  tutto  un  altro  ordine  di  rapporti,  da  quelli,  cioè,  riferentisi  al  « valore  di  scambio  » delle  merci.  Mentre  infatti  gli  econo-    (‘)  Posso  rimandare  il  lettore,  che  desiderasse  maggiori  schiarimenti,  a un  articolo  che  ho  recentemente  pubblicato,  su  questo  soggetto,  nel  Nuovo  Cimento  (Voi.  XIV,  1907)  : « Sul  mi-  glior modo  di  definire  la  massa  in  una  trattazione  elementare  della  meccanica  ».  [V.  scritto  CLXXXI  del  presente  volume].    886    GIOVANNI  VAILATI    misti  possono,  e devono,  determinare  e definire  esattamente  il  senso  di  frasi  come  le  seguenti  : « il  valore  della  tal  merce  è uguale  al  valore  della  tale  altra  > ,   « il  valore  della  tal  merce  è uguale  alla  somma  dei  valori  delle  tali  due  altre  »,  etc.,  essi  non  hanno  alcun  bisogno  (e  neppure  alcuna  possibilità,  a meno  di  ca-  dere in  tautologie)  di  definire  isolatamente  la  parola  « valore  ».   E tale  impossibilità  non  dà  luogo,  nè  qui,  nè  negli  altri  casi  analoghi,  ad  alcun  inconveniente  o ambiguità;  precisamente  come  nessun  inconveniente  de-  riva, nel  linguaggio  ordinario,  dal  fatto  che  noi  non  siamo  in  grado  di  dire  che  cosa  significhino  isolatamente  le  parole  « stregua  »,  « solluchero  »,  « josa  »,   « zonzo  »,  « acchito  »,  « chetichella  »,  « vanvera  »,  etc.,  bastandoci  del^  tutto  conoscere  il  significato  di  tutte  le  frasi  in  cui  tali  parole  compaiono,  cioè  delle  frasi  « giudicare  a una  data  stregua  »,  « andare  in  solluchero  »,  « averne  a  josa  »,  « andare  a zonzo  »,  « di  primo  acchito  »,  etc.   Il  frequente  impiegò  che  è fatto,  nei  vari  rami  della  matematica,  di  locu-  zioni, o segni  di  funzione,  il  cui  senso  è determinato  solo  per  mezzo  di  « defi-  nizioni per  astrazione  »,  viene  a confermare  ciò  che  già  è stato  asserito  indietro,  quando  si  assegnò  come  uno  dei  tratti  caratteristici  del  linguaggio  algebrico,  di  fronte  al  linguaggio  ordinarlo,  il  maggior  rilievo  e la  maggiore  importanza  che  assumono  in  esso  i segni  i quali,  non  avendo,  quando  siano  considerati  iso-  latamente, alcun  senso  separatamente  enunciabile,  sono  capaci  di  venire  definiti  solo  in  modo  implicito,  cioè  solo  coll’ indicare  il  significato  di  intere  espressioni,  o formule,  in  cui  il  segno  da  definire  compaia  associato  con  altri  segni.   Il  riconoscere  come  affatto  legittimo  l’impiego  di  segni  o parole,  che  si  trovano  in  questo  caso,  e come  affatto  irragionevole  l’esigenza,  per  essi,  di  una  definizione  « esplicita  »,  non  è privo  d'importanza,  teorica  o pratica,  anche  fuori  del  campo  delle  scienze  matematiche.   Basta  dare  uno  sguardo  alle  prime  pagine  degli  usuali  libri  di  testo,  o ai  manuali  elementari  di  qualsiasi  ramo  d’insegnamento  — dalla  grammatica  al  diritto  costituzionale,  dalla  elettrotecnica  alla  musica  —,  per  convincersi  del  grave  danno  che  deriva  alla  chiarezza  e alla  intelligibilità  (e  nello  stesso  tempo  anche  alla  precisione  e al  rigore)  della  esposizione  dalla  tendenza  dei  tratta-  tisti a riguardare  come  unico  mezzo,  per  la  determinazione  del  significato  dei  termini  tecnici,  il  ricorso  alle  definizioni  propriamente  dette.   Che  il  procedimento  ordinario  di  definizione  — quello  cioè  secondo  il  quale,  prendendo  in  considerazione  la  nozione  da  definire,  isolatamente  e indipenden-  temente dalle  frasi  nelle  quali  essa  dovrà  poi  essere  adoperata  per  dire  qual-  che cosa,  si  mira  a decomporla  nei  suoi  elementi,  facendola  comparire,  in  certo  modo,  come  il  risultato  della  intersezione  di  altre  nozioni  più  generali  — possa  essere,  in  dati  casi,  utile  e anche  necessario,  non  è da  porre  in  dubbio.   Ma,  anche  senza  tener  conto  del  fatto  che,  anche  seguendo  tale  procedi-  mento, si  dovrebbe  pure  arrivare,  presto  o tardi,  a nozioni  che  non  possono  essere  in  tal  modo  ricondotte  ad  altre  più  generali,  anche  senza  tener  conto,  dico,  di  questa  circostanza,  chi  espone  gli  elementi  di  qualunque  scienza  non  dovrebbe  mai  trascurare  di  domandarsi,  ogni  volta  che  si  tratti  d’introdurre  un  nuovo  segno,  e di  spiegarne  il  significato,  se,  tra  i due  modi,  visti  sopra,  di  prò-    LA  grammatica  DELI.’ ALGEBRA    S87    cedere  alla  determinazione  di  questo  - tra  quello,  cioè,  che  consiste  nel  darne  una  definizione  propriamente  detta,  e l’altro  invece  che  consiste  nel  precisare  semplicemente  il  senso  di  determinate  frasi  nelle  quali  il  termine  da  definire  figura  -,  sia  più  conveniente  il  primo  o il  secondo  ; se,  per  esempio,  quei  con-  cetti (più  generali  di  quello  che  si  vuol  definire),  ai  quali  deve  essere  fatto  ap-  pello quando  si  proceda  nel  primo  modo,  siano  poi  veramente  più  chiari  e piu  facilmente  apprendibili,  dagli  alunni  o dai  lettori,  di  quanto  non  sia  il  concetto  stesso  che  si  vuol  definire,  e se,  ad  ogni  modo,  quest’  ultimo  non  possa  essere  più  facilmente  da  essi  acquistato  mediante  la  diretta  osservazione  dei  fatti  e  delle  relazioni  che  esso  dovrà  poi  servire  ad  esprimere.   Le  discussioni  interminabili  sul  tempo,  sullo  spazio,  sulla  sostanza,  suU’in-  finito,  etc„  che  occupano  tanta  parte  in  ' certe  trattazioni  filosofiche,  forniscono  numerosi  e caratteristici  esempi  delle  varie  specie  di  « questioni  fittizie  » alle  quali  può  dar  luogo  la  pretesa  di  dare,  o di  ricevere,  definizioni  propriamente  dette,  in  quei  casi  in  cui  le  parole  o nozioni  delle  quali  si  tratta  di  determi-  nare il  significato  sono  di  tal  natura  da  non  poter  essere  definite  se  non  ricor-  rendo a procedimenti  analoghi  a quelli  rappresentati,  in  algebra,  dalle  « defini-  zioni per  astrazione  ».   [Si  è parlato  fin  qui  dei  mezzi  che  l’algebra  ha  a disposizione  per  esprimere  proposizioni  isolate.   Ma  quando  si  discute,  o si  cerca,  o si  dimostra,  si  ha  altresì  bisogno  di  poter  collegare  le  proposizioni  le  une  con  le  altre  ; si  ha  cioè  bisogno  di  mezzi  per  esprimere  i rapporti  di  dipendenza  o di  indipendenza  che  sussistono,  o che  si  vogliono  stabilire,  tra  esse.   A tale  scopo  servono,  nel  linguaggio  ordinario,  quelle  particelle  che  i gram-  matici distinguono  col  nome  di  « congiunzioni  ».   L’ufficio  di  queste,  rispetto  alle  proposizioni,  si  può  paragonare  a quello  che  adempiono  le  preposizioni  rispetto  ai  nomi..   Allo  stesso  modo  come  una  preposizione,  posta  tra  due  nomi,  dà  luogo  a  una  locuzione  atta  a esercitare  l’ufficio  di  un  nuovo  nome,  così  anche  una  con-  giunzione, posta  tra  due  asserzioni,  da  luogo  a una  nuova  asserzione,  la  cui  ve-  rità o falsità  può  anche  essere  indipendente  dalla  verità  o falsità  di  ciascuna  di  esse.   Per  una  scienza  a tipo  deduttivo,  come  e appunto  1 algebra,  le  piu  impor-  tanti congiunzioni  sono  naturalmente  quelle  che  servono  a indicare  che,  di  due  date  asserzioni,  l’una  è conseguenza  dell’altra.   Al  posto  delle  molteplici  particelle,  o perifrasi,  che  sono  adoperate  a tale  scopo  nel  linguaggio  ordinario  («  dunque  »,  « quindi  »,  « perciò  »,  « donde  »,  « di  qui  »,  « per  cui  »,  « se  >,  « quando  »,  « in  caso  che.,..  »,  « ne  deriva  »,  « ne  consegue  »,  « ne  risulta  »,  etc.),  non  si  avrebbe  bisogno  in  algebra  che  di  avere  a disposizione  un  solo  segno.   Altre  congiuzioni  assolutamente  indispensabili  in  qualsiasi  trattazione  alge-  brica, che  non  sia  una  semplice  raccolta  di  formule,  sono  le  seguenti  :   i)  una  per  indicare  che  una  proposizione  enunciata  non  è vcfa  (un  se-  gno cioè  corrispondente  al  « non  » del  linguaggio  ordinario).    888    GIOVAKNI  VAILATI    2)  altre  due,  corrispondenti,  rispettivamente,  all’c  e » e all’«  o » del  lin-  guaggio ordinario,  per  indicare  che  due  date  proposizioni  sono  simultaneamente  vere,  o che  di  esse  una,  e una  sola  può  essere  vera.   L’avere  introdotto  quattro  speciali  segni  per  indicare  i suddetti  quattro  rapporti  tra  le  proposizioni,  e l’aver  riconosciute  le  curiose  analogie  che  sussi-  stono tra  le  proprietà  di  tali  segni  e quelle  degli  altri  segni  già  adoperati  in  algebra,  e merito  del  Leibniz  e dei  fondatori  della  cosiddetta  ,  scelti  e co-  struiti deliberatamente  in  vista  degli  scopi  ai  quali  devono  servire,  e il  cui  sviluppo  non  è soggetto  a leggi  o uniformità  del  genere  di  quelle  che  lo  studio  comparato  permette  di  riconoscere  e di  formulare  per  i linguaggi  « naturali  »,  non  mi  pare  abbia  gran  peso.   Alla  distinzione  stessa  tra  lingue  « naturali  » e lingue  « artificiali  » mi  sembra  difficile  che  dagli  stessi  glottologi  possa  venire  attribuito  alcun  senso  preciso  e scientifico,  quando  essi  ammettono  che  nella  formazione  e nello  svi-  luppo di  qualsiasi  linguaggio,  per  quanto  « naturale  » e non  colto,  una  parte  non  trascurabile  è pur  sempre  da  attribuire  ai  fattori  volontari  e individuali  che  ne  determinarono  i successivi  adattamenti  alla  sua  funzione  di  strumento  per  esprimere  e comunicare  determinati  sentimenti  o idee.   Sarebbe  strano  del  resto  che  mentre  l’obiezione  della  artificialità  non  è    LA  GRAMMATICA  DELL’ALGEBRA    889    considerata  valida  per  escludere  dal  campo  della  glottologia  e della  semasio-  logia lo  studio  dei  « gerghi  > propri  delle  classi  più  infime  della  società,  essa  dovesse  aver  vigore  soltanto  per  il  caso  di  quelli  che,  nella  peggiore  ipotesi,  ci  contenteremmo  di  veder  classificati  come  dei  « gerghi  » ideografici,  propri  ai  cultori  delle  più  progredite  tra  le  scienze].   [Accennerò  infine  a una  considerazione,  di  indole  tutto  aflfatto  pratica  e  attuale,  che  mi  ha  fatto  parere  tanto  più  opportuno  richiamare  l’attenzione  dei  filologi  sui  caratteri,  per  così  dire,  linguistici  deH’algcbra.   Va  diventando  sempre  più  un  luogo  comune,  nelle  discussioni  sull’ordina-  mento degli  studi  nelle  nostre  scuole  secondarie,  il  lamento  sui  danni  derivanti,  allo  studio  delle  lingue  antiche  o moderne,  dall’impiego  di  metodi  troppo  « grammaticali  » o « filologici  »,  dalla  troppa  parte,  cioè,  che  è fatta  ordinaria-  mente, nei  primi  stadi  dell’insegnamento,  all’enumerazione  delle  regole  gram-  maticali, in  confronto  allo  scarso  tempo  e alla  minor  cura  dati  invece  agli  esercizi  di  interpretazione  e di  conversazione.   A questo  che  si  ritiene  comunemente  essere  un  difetto  particolare  dell’  in-  segnamento delle  lingue,  fanno  riscontro,  a mio  parere,  dei  difetti,  non  solo  analoghi,  ma  addirittura  identici  in  quella  parte  dell’insegnamento  scientifico  che  ha  per  scopo  di  fare  acquistare  agli  alunni  la  capacità  di  servirsi  delle  notazioni  dell’algebra.   Promuovere  un  chiaro  riconoscimento  di  questa  specie  di  solidarietà  tra  due  rami  d’insegnamento  che  la  tradizionale  distinzione  delle  « materie  » in  letterarie  e scientifiche  tende  a far  riguardare  come  eterogenei  e privi  di  qual-  siasi rapporto  tra  loro  equivale  a render  possibile,  tra  i cultori  dei  due  ordini  di  disciplina,  uno  scambio  d’idee  che  non  mancherebbe  di  riuscir  fecondo  di  eguali  vantaggi  per  ambedue  le  parti].  ,