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e Re: ragione conversazionale ed implicatura conversazionale – filosofia
campanese -- filosofia italiana – Luigi Speranza (Calitri). Filosofo italiano.
Calitri, Avelino, Campania. Alfonso Del Re Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Alfonso Maria Del Re (Calitri, 9 ottobre 1859 – Vico Equense, 5 settembre 1921)
è stato un matematico italiano. Figlio di Raffaele e Rosa Margotta, si trasferì
a Napoli all'età di quindici anni e vi compì gli studi superiori. Si laureò a
Napoli nel 1886 dove iniziò anche la sua carriera accademica quale assistente
universitario. Nel 1889 fu nominato professore di Geometria analitica e
proiettiva alla facoltà di Matematica dell'Università di Roma, e nel 1892 passò
per la stessa cattedra all'Università di Modena e Reggio Emilia. Nel 1899 fu
infine richiamato presso la facoltà di matematica dell'Università di Napoli per
insegnare Geometria descrittiva. Intorno al 1910 fu anche professore di
matematica presso la Scuola Militare Nunziatella[1]. È stato autore di più di un centinaio di
lavori di geometria, di statica e di logica matematica, la maggior parte in
forma di pamphlet. Note ^ Francisco
Protonotari (1935) Nuova antologia: Volumi 381-382 Bibliografia Omografie che
mutano in se stessa una certa curva gobba del 4. ordine e 2. specie e correlazioni
che la mutano nella sviluppabile dei suoi piani osculatori, Torino, Loescher,
1887 Sulla struttura geometrica dello Spazio in relazione al modo di percepire
i fatti naturali. Discorso pronunziato in occasione della solenne inaugurazione
degli studi presso la R.Università di Modena il d 16 novembre 1896, 3ª ed.,
Napoli, Lorenzo Alvano Edit., 1901 Lezioni di algebra della logica, dettate
nella R.Università di Napoli, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e
Matematiche, 1907 Lezioni sulle forme fondamentali dello Spazio rigato, sulla
dottrina degli immaginari e sui metodi di Rappresentazione nella geometria
descrittiva, Napoli, L.Alvano, 1906 Sulla indipendenza dei Postulati
dell'Algebra della Logica, Rendiconti dell'Accademia napoletana di Lettere
Scienze ed Arti, 1911, pp. 450 -458 La matematica ha un carattere universalmente
unitario?, Roma, Tip. Unione Ed., 1912 Sulla visione stereoscopica e sulla
stereo fotogrammetria, Napoli, Tip. R.Accademia delle Scienze Fisiche e
Matematiche, 1914 Sulle posizioni di equilibrio dei corpi solidi ad n
dimensioni soggetti ad un sistema astatico di forze, Napoli, Tip. R.Accademia
delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1914 Le equazioni generali per la dinamica
dei corpi rigidi ad n dimensioni ed a curvatura costante nell'analisi di
Grassmann, Napoli, Tip. R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915
Nuove ricerche di astatica per gli spazi ad n dimensioni, Napoli, Tip.
R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915 Sopra gl'integrali delle
equazioni della dinamica dei corpi rigidi negli spazi ad n dimensioni ed a curvatura
Costante, Napoli, Tip. R.Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915
Sopra certe formule fondamentali per la Rappresentazione di omografie fra forme
estensive, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1915
Formule fondamentali per trasformare, con omografie estensive, formazioni
d'ordine qualunque, Napoli, Tip. R. Accademia Delle Scienze Fisiche e
Matematiche, 1916 Hamiltoniani e gradienti di formazioni estensive nell'analisi
generale di Grassmann, Roma, Tip. R. Accademia Dei Lincei, 1916 Hamiltoniani e
gradienti rispetto a formazioni non interamente libere, Napoli, Tip.
R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Gli hamiltoniani ed i
gradienti del prodotto di due funzioni estensive, Roma, Tip. R.Accademia Dei
Lincei, 1916 Sopra certe Relazioni di identità fra determinanti e matrici,
Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e Matematiche, 1916 Sopra una
formula del Betti relativa alla propagazione del calore, e sopra gli ellissoidi
principali e di conducibilità del Boussinesq e del Lame. Formule fondamentali
per trasformare, con omografie estensive, formazioni d'Ordine qualunque,
Napoli, Tip. B.De Rubertis, 1916 Sopra una formula del Betti relativa alla
propagazione del calore e sopra gli ellissoidi principali e di conducibilità
del Boussinesq e del Lamé, Napoli, Tip. R.Accademia Delle Scienze Fisiche e
Matematiche, 1916 Voci correlate Giovanni Di Pirro Altri progetti Collabora a
Wikisource Wikisource contiene una pagina dedicata a Alfonso Del Re
Collegamenti esterni Franco Rossi, DEL RE, Alfonso, in Dizionario biografico
degli italiani, vol. 38, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1990. Modifica su
Wikidata (EN) Alfonso Del Re, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland.
Modifica su Wikidata Alfonso Del Re, in Biografie di matematici italiani,
PRISTEM (Università Bocconi) (archiviato dall'url originale il 30 maggio 2009).
Biografia sul sito del Comune di Calitri, su calitri.net. Controllo di autorità VIAF (EN)
121770985 · SBN SBLV205457 · GND (DE) 117631752
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italiani del XIX secoloMatematici italiani del XX secoloNati nel 1859Morti nel
1921Nati il 9 ottobreMorti il 5 settembreNati a CalitriMorti a Vico
Equense[altre]HARVARD COLLEGE LIBRARY > FROM THE LIBRARY OF PEIRCE, Harvard,
LOGICIAN INVESTIGATOR OF THE HISTORY OF SCIENCE CONTRIBUTOR TO THE PHILOSOPHY
OF EVOLUTION .n • THE Gin OF MSS. PEIRCE THROUGH THE HARVARD COLLEGE LIBRARY .
I mmmmtm^'mm f { "^ I -m^ ) LEZIONI \DI ALGEBRA DELLA LOGICA AD USO DEGLI
STUDENTI DELLE FACOLTÀ DI MATEMATICA E DI FILOSOFIA E LETTERE DETTATE NELLA R.
UNIVERSITÀ DI NAPOLI TIPOaRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT.
DIRETTA DA EUOBNIO DB RUBERTIB FU MICHELE Largo S. Marcellino airUniversità» 6
1907 y . f LEZIONI DI ALGEBRA DELLA LOGICA AD USO DEGLI STUDENTI DELLE FACOLTÀ
DI MATEMATICA E DI FILOSOFIA E LETTERE DETTATE NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI, NAPOLI
TIPOaRAFIA DELLA R. ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA BUOBNIO DB
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NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI ^ ». IO -«- NAPOLI lA DELLA R. ACCADEMIA DELLE
SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA BDOBNIO DB RDBERTIB FU MICHBLB Largo S. Marcellino
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DI MATEMATICA E DI FILOSOFIA E LETTERE I DETTATE NELLA R. UNIVERSITÀ DI NAPOLI
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ACCADEMIA DELLE SCIENZE FIS. E MAT. DIRETTA DA EUOBNIO DB RUBERTIB FU MICHBLB (
Largo S. Marcellino airUniveriiUt, (^Jul
bcS-'/'K^ i Z> cQ^it non munite della
firma dell’Autore sono contraffatte. LUIGI CREMONA PER LA VASTITÀ DELLA MENTE
PER l'equilibrio MORALE DEL CARATTERE NEL MOMENTO IN CUI I METODI DELL'ALGEBRA
DELLA LOGICA SEVERAMENTE RICOSTRUENDO I FONDAMENTI DELLE MATEMATICHE GETTANO
VIVIDA ED INASPETTATA LUCE' SUI PRIMI PRINCIPII DELLA « GEOMETRIA QUESTO LIBRO CON GRATITUDINE ED IN MEMORIA
DEDICO. Harvard
College Library June 28, i9i6. Gift of Mrs. Charles S. Peirce. In questo volume è con^gnata quella
parte delle lezioni suir da me date a
NAPOLI, che, a mio avviso, più delle altre, presenta nei suoi procedimenti, la
forma e la consistenza degli ordinari i procedimenti algebrici. Partendo da un
gruppo di postulati fondamentali, diverso da quelli che altri ha dati), ed
introducendo la nozione del UMo in senso assoluto, l’algebra qui svolta viene a
ricevere una immediata interpretazione nel campo delle così dette classi, e si
presenta nel maneggio, assai più facile dell'algebra ordinaria, dalla quale è,
del resto, indipendente. Più volte sono stato tentato a pensare che questa
faciltà ed indipendenza , consentendo all’algebra della logica di essere
studiata appena dopo gl’elementi dell'aritmetica, riescirebbe a renderla assai
più utile dell' ordinaria quando portata, in luogo di questa, nell'insegnamento
secondario. Mi piace qui rammentare il nome di alcuni studenti che, a
preferenza degli altri, seguirono, con zelo e profitto, le mie lezioni,
prendendo anche i relativi esami. Essi sono: db IR.OSIS, LicopOLi, Durante, FANELLI..
È da ratntttenture anche il mio amico Majii , che avendo ascoltato le mie
lezioni per due anni successivi, maneggia ora, con distinta abilità, il calcolo
logico. Dei gruppi completi di postulati propriamente detti per l'algebra della
logica non vennero dati che d’Huntington nell'articolo : Seta of tndipendent
postulates for the (Ugebra of logie (Transactions fo the American MathemoAical
Society). Cfr. pure Vbblrn, fosse impartita a quei studenti, in ispecie, pei
quali lo studio delle matematiche propriamente dette, serva più per conferire
una forma maggiormente organica alla costituzione della mente che pei bisogni
tecnici professionali. E mi sembra improbabile che io m'inganni a questo
riguardo quando penso all'ufficio che compie nelle nostre scuole se- condarie
lo studio della logica classica, ai tentativi persistentemente fatti per tradurne
in simboli i varii procedimenti, allo sviluppo che, portata in una logica più
generale), ha preso ai nostri giorni , ed in fine al carattere eminentemente
deduttivo, e proprio delle matematiche, che informa i procedimenti dell' algebra
della logica. Tre sono le operazioni fondamentali sulle quali è basata tutta la
tecnica dell' algebra della logica: l’addizione, la moltiplicazione, e la
negazione logica. Una qualunque di queste può essere definita mediante le altre
due. Cosi, a differenza di quanto avviene nell' algebra ordinaria, non si
presentano qui le operazioni analoghe a quelle chiamate di sottrazione e di
divisione ed in grazia delle leggi di unità e di semplicità, non si riscontrano
qui né coefficienti numerici, né esponenti, peroni tutte le espressioni, e le
equazioni, logiche si presentano come di primo grado. Il modo di esposizione
qui tenuto, come il lettore ha occasione di rilevare, ha una impronta tutta
personale. Primi principii, maniere d’eduzioni, collegamenti delle varie parti,
etc. sono qui pre.sentati in forma affatto diversa da quella seguita d’altri.
Anche alcune nozioni, nel modo come qui trovano il loro posto, apparvero
diversamente, o non apparvero affatto, in altri scritti; e qualche problema non
parve essere stato addirittura presentato. Coloro che si occuparono dell’algebra
della logica, in tutta la sua estensione, a cominciare da Boole, che deve
essere [La logica classica non riconosce che delle forme sillogistiche di
deduzioni. Cosi, comunemente si dice. Ma, meglio si direbbe, dicendo che nell'algebra
della logica manca l'elemento analogo al grado delle espressioni e delle
equazioni che si presentano nell’algebra ordinaria.] considerato come il vero
fondatore di essa, sono, fra gli altri , i seguenti: BooLE, liei col suo saggio
An investigation oftìie Laivs of Thought, Jevons con la sua Pare logie, Peirce con
articoli iuseriti nei Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences,
e con articoli posteriori apparsi nell’American Journal of Piiì^es and Applied
Mai/iematics, Clifford, con articoli sui Tfjpes of compound Statements ,
inseriti nelle Memoirs of the Literary aud Philosophical Society of Mancester e
nelle Mathematical Papers; ScHRODER con l'articolo Ope7^ationh?'eis des Logih- lialhulus,
e poi con la pubblicazione di tre grossi volumi col titolo « Vorlesun- gen uber
die Algebra der Logik; McCoLL, con articoli iuseriti nei Proceedlngs of the
London Mathematical Society e nell’Enseignement Mathèmatiqxie, nel Congres
international de Philosophie, e col saggio Symbolic Logic and its appiications
, London; Maofarlane, con il saggio Pì'inciples
of the Algebì'a of Logic; Venn, con la sua Symbolic Logic; Ladd, Mitchell e
Peirce con articoli inseriti in Studies in Logic by Members of the Johns
Hopkins University. Qui io cito soltanto i filosofi dei cui saggi mi è stato
possibile prendere visione durante la pubblicazione di questo saggio, e che mi
sono riusciti di utilità nella sua compilazione. A questo riguardo mi è anzi
grato di dichiarare che le pubblicazioni le quali maggiormente mi sono state di
guida e sprone a scrivere queste Lezioni sono quelle di Whitehead che ho citate
; e penso anche io , con r autorevole filosofo e matematico inglese, che un
largo campo d' investigazioni viene aperto all' algebra della logica con la
nozione di sostituzioni da lui introdotta, e con gli sviluppi che egli stesso
ha dato a questa nozione. Penso' inoltre che, molta utilità deve seguire per la
geometria dalle relazioni messe in luce da Kbmpe e Royce fra i prinoipii della
Logica ed i fondamenti della Geometria stessa. PEANO, col suo saggio OPERAZIONI
DI LOGICA DEDUTTIVA j messo come introduzione al calcolo geometrico secondo
l'Ausdeh" nungsleJire di Grassmann, e poi successivamente con altri saggi
e principalmente con la pubblicazione della Rivista e del Formulario di
Matematica; i quali , a giudizio di persone molto competenti in materia -- cfr.
p. es. Russell, Principles of Mathematics e Revue de Méthaphysique et de Morale
-- hanno potentemente contribuito al progresso della logica simbolica,
specialmente dal punto di vista delle applicazioni alla matematica. L'egregio
amico e ollcega, mi permetta che io colga questa occasione per associarmi agl’elogi
che gli vengono resi, e per rinnovargli qui, in iscritto, i miei rallegramenti.
Johnson, con articoli inseriti in Mind, e nella Bibliothèque du Congrès internationale
de Philosophie. Whitehead, con la pubblicazione della sua Universal Algebra, e
con memorie apparse nell’Americaìi Journal etc, come risulta dalle citazioni
fatte nel testo. PoRETSKY,
con gli articoli: Sept lois fondainentales de la théorie des ègalités logiques;
Quelques lois ultériores de la théorie des égalités logiques, Bulletin de Ift
Société Physico-Mathématique de Kasan; Vedi anche Revue de Méthaphysique et de
Morale, per l’art. : Espose élémentai^'^e de la thèorHe des égalités logiques à
deux termes a e^ b; ed La Bibliotèque du Congrès international de Philosophie,
per l'art. Théorie des égalités logiques a trois termes a, b et e). Couturat con la pubblicazione h' Algebre de la Logique,
Scientia). Napoli.R. VW-AlV-W-VlrA/Vaf VA/V-VV-'UV-A/V AnrA/V--\r-V\r-ViHV;VAAr
AVA/VAfV ^/^^ArVVA. ome affermare X e T insieme è affermare z perchè T è sempre
affermabile, sicché da a;T segue x ; così , dato al SEGNO posto fra due tei-mini x,y il SIGNIFICATO che
l'affermazione di x porti seco l'affermazione di y ed inversamente, ne segue
essere verificati i postulati 11^,11^. La scrittura X -^ y -\-z afferma ^ -\-y
o u , epperò e x-\-{y'\-x) afferma a; o y-|-s, e perciò pure j-, o i; la
scrittura. Le due scritture [Io dico che UNA PROPOSIZIONE È AFFERMABILE,
indipendentemente dall'essere vera o falsa, allorché essa non è in
contraddizione con le leggi fondamentali del pensiero; non affermabile nel caso
opposto. Ei in questo caso si dirà pure assurda. Cosi , una proposizione assurda
è falsa universalmente, cioè in tutto il dominio del pensiero. Una proposizione
falsa IN UN CERTO DOMINIO può non esserlo in un altro. Per es., la proposizione
secondo la quale la summa dei tre angoli di un triangolo non é due rotti È
FALSA NEL DOMINIO DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA, ed è vera nel dominio più. ampio
della geometria non euclidea.] rappresentano dunque la stessa afiermazione ed è
quindi verificato il postulato. Similmente, la scrittura ac(y-|-z) afferma
contemporaneamente 05 ed y o z. La scrittura xy -|- ajz afferma o a; ed y
contemporaneamente o contemp. a; e e ; essendo identiche le due affermazioni
resta verificato il postulato. Sono, evid. , verif. pure i post. IIIa , IIIm-
Per ogni dato termine x si assuma come termine x la classe di tutte le
proposizioni appartenenti a T che non sono x; allora, affermare x o x,
indifferentemente, è come affermare T ; ed affermare x o Xj simultaneamente, è come
affermare T assurdo, perchè x contiene le proposizioni che sono le negazioni
delle proposizioni x, e che perciò non possono essere affermate simultaneamente
ad esse. DUNQUE x-\-x=T ed a;x==N, e rimane cosi verificato pure il postulato. Alla
interpretazione di x -|- 1/ , data in I , come classe minima che abbraccia x ed
y corrisponde l'interpretazione consìstente neìVaffermare x o y: ed alla
interpretazione di xy quale classo masaima comune ad x , y corrisponde
l'interpretazione consistente nell’affermare simultaneamente x ed y. Le due
interpretazioni precedenti provano la CONSISTENZA dei postulati del gruppo
proposto, e pure la loro COMPATIBILITÀ, perchè nessuno dei postulati del gruppo
è escluso dalla presenza degli altri. Tal interpretazione non corriifponde
esattamente a quella che generalmente vien data nel campo delle proposizioni.
La INDEPENDENZA dei postulati del gruppo si prova seguendo la via indicata da PEANO,
PADOA, E PIERI. Sono conseguenza immediata dei postulati nella sezione precedente,
le seguenti proposizioni. Non esiste alcun termine di T cite abbia la proprietà
espressa dal post. IL, ed un solo termine N esiste che abbia la proprietà
espressa dal postulato IL. In fatti, esistano due termini N, Ni con la
proprietà IL; al- sss:. ^•Z^ • • ^ M ' colora dove aversi, per essere N , Nj
tepiniai di T , e per IL : N, + N = N, , N + Ni = N, e per III4 : Ni=N.
Analogamente si pruova che SE un Tj esi- ste con la proprietà IIm di T, è T, =
T. Prop. Per ogni termine x un solo
termine x esiste pel quale è x + x = T , xx = N. In fatti, esista oltre a x, un
altro termine a?, pel quale sia a? + ^j = T,a?irj = N. Allora si ha
x^=^T!x^=^{x-\-x) x^=a:x^-hxx^^ìs-{'XX^^.vx-{-xx^=x (X'W^)^=ocT!^x .Il termine
x di cui questa proposizione si chiama
termine supplementare del termine x, ovvero NEGAZIONE di X, Si dice anche che x
q x sono termini contradittori. Come osservare Ladd , il solo principio di
contraddizione (n.® 3 in fine) non basta a definire due termini
contraddittorii, occorre ancora IL PRINCIPIO DEL MEDIO ESCLUSO, il quale merita
anch'esso di ricevere quel primo nome (cfr. CouTURAt). MacColl chiama legge del
medio escluso la combinazione delle due relazioni -- The CaZculus of Equivalent
StatemenU and Integration Limits, Proceedings of the London Mathematica!
Society. L'unicità del supplemento a; di x permette di dedurre dall’EGUAGLIANZA
x = y V altra us == y. Vale a dire si possono negare entrambi i memori di un'EGUAGLIANZA
senza che l’eguaglianza cessi di a'oer luogo, £ cosi, allorché si vuol
dimostrare un'EGUAGLIANZA, si può dimostrare l’EGUAGLIANZA logica
supplementare, se ciò è più conveniente. La negazione del tutto è il nulla, la
negazione del nulla è il tutto. In fatti, per IIm e per IL rispettivamente, si
ha TN = N , T + N = T; dunque , per la prop. 2.% N = T , T = N. Il termine
supplementare del supplementare di un dato è lo stesso termine dato. Vale a
dire x=^x {LEGGE DELLA DOPPIA NEGAZIONE – reduzione all’assurdo introdutta da
Zenone di VELIA. In fatti, dato x , soltanto x (prop. 2.^) soddisfa alla doppia
relazione Prop. Qualunque siano i termini x , y si ha sempre xy = x{y + x) .
(1) In fatti, xy=-(vy + '!>l = ooy'j-xx = x(y + x). Ponendo i/ = N dalla (1)
si deduce a?N = a;(N + ^) = (per post. IL ) o?^ = N ; (2) cosi il prodotto del
termine nullo per un termine arbitrario è il termine nullo. Ponendo y==^Xy
dalla (1) si deduce a:x = x{x -{- x) = xT = x , ovvero xx = x . Questa
relazione è conosciuta col nome di legge di semplicità, o dì tautologia
(Jevons, Pure Logic; Johnson, The Logicai Calculus). Osservazione. Qualunque
siano x,y si ha sempre x + xy = x(x + y) , (3) giacché per la (y') x + xy = xx
-\- xy = x(x + y) . Per y = x, tanto il 1.*^ che il 2.^ membro della (3)
prendono il medesimo valore, e, in virtù della (t)>(y')» si può osservare ,
che la stessa cosa avviene per |/ = N e per ^ = T (dopo di avere eseguito la
moltiplicazione per x). Ora dimostreremo che x è il valore comune dei due
membri della (3) qualunque sia il valore di y, cioè dimostreremo la seguente
Prop. 4.^ Qualunque siano x ed y si ha sempre x = x + xy = x(x + y) . (4) In
fatti, X + xy = xT + xy = x{y + y) + xy = xy + xy + xy = = (per IIIa )xy + xy +
xy= [per (y)] xy + xy — x(y+y)=x . — 11 — La relazioDe (4) è conosciuta col
nome di legge di assorbi- mento, e si distingue in legge di assorbimento per
l'addizione^ quando si ha riguardo air uguaglianza x=^x-\'Xy y ed in legge di
assorbimento per la moltiplicazione, quando si ha riguardo air uguaglianza x =
x(x + y). Corollario. Essendo x,y,z,...,t dei termini qualimque si ha
x=x-\-xy'\'Xyz-\- ... '\'Xy ... t=x(x+y) (x+y+z) ... (x+y"\- ... + • Con
l'aiuto della precedente proposizione e della legge asso- ciativa per
l'addizione, si dimostra ovviamente la Prop. 5.* Qualunque siano x ed y si ?ia
sempre x + y = x + yx . (1') In fatti, x + y = (x + y)T = (x + y){X'{'X) = =
per la (4) x + (x + y)x = x + (xx + yx) ovvero (senza l'impiego del post. IV),
per essere 070? = N, X ■{-y = x + yx . Si può pure ragionare così
x+y=x-\'y{x-\-x) = (per post. IV) x+ayy+yx=: [per (4)] x+yx . Corollario.
Ponendo T al posto di y in (1') si ha x-JrT = x + Tx = x + x = T ; così la
somma di un termine e del tutto è il tutto. Col medesimo aiuto che per la
dimostrazione della prop. pre- cedente si dimostra la seguente Prop. 6/
Qualunque siano x,y ,z si ha sempre x + yz = (x + y){x + z) . (p') In fatti,
x-\-yz = x-\-xy'{-yz = x + y{x + z) = = x{x + z) + y(x + z) = (x + y) {x + z) .
La proprietà espressa dalla relazione O') si chiama legge distributiva dell'
addizione rispetto alla moltiplicazione. Per rappresentare il termine
supplementare di una somma. ] di un prodotto, porremo in parentesi la somma ed
il prodotto, e poi a sinistra, fuori della parentesi ed in alto, un piccolo
tratto; scriveremo, in altri termini, per indicare rispettivamente il termine
supplementare di quello che risulta dalla somma x -{- y, e di quello che
risulta dal pro- dotto (vy. In ordine al modo di formare il termine
supplementare di una somma, o di un prodotto, si ha la seguente Prop. 7.* Il
supplemento della somma di due ter^nini è il pro- dotto dei supplementi di
questi termini^ ed il supplemento del prodotto è la somma dei supplementi; vale
a dire '-{x-\-y) = xy (5) -{xy) = x-\'y . (6) In fatti, cc + y + xy = x +
xy'\'y==x-^y-\-y = X'\-T = T (x + y)xy = X . xy + y . xy ; e per essere in
generale z.zt = ìi + z,zt = zz + z,zt = z{z + zt) = zz = '!>i , ... (7) è
pure dunque la (5) è vera. Per pruovare la (6) si osservi che, per la (5), ~{x
+ y) = xy = xy , e che perciò _ _ _ _ ~(^y) = "["(^ + y)] = oo + y -
La (6) può essere dimostrata direttamente in modo analogo a quello tenuto per
dimostrare la (5), poiché si ha c(^y + (à) + y) = x + yx + y = x-['y + y = x +
T = T (vyix + y)=(x + y)xy=x .xy-\-y ,xy=[]^ev la (7;] N + N=N . Le formole (6),
(7) sono generalmente conosciute col nome di (prmule di De Morgan. Con l'aiuto
della proposizione precedente si può ora dimostrare che la moltiplicazione,
come l'addizione, gode nell'Algebra della Logica, della proprietà associativa;
cioè si ha: Prop. 8.* Qualunque siano x , y , z ha luogo la relazione xy,z =
x,yz . («') In fatti, -[xy,z]=~{xy) + z={x-\-y) + z= (per post. IV) a? + (y +
'2^) 5 dunque xy,z='-[x~\-{y -\-z)\ = xr{y-\'Z) = x.yz . Dai postulati Isegue che si può
variare comunque l'ordine dei termini di una somma logica senza cambiare la
somma stessa. Dal postulato IIIm, e dalla proposizione precedente segue che la
medesima proprietà ha luogo per un prodotto. Dalle medesime sorgenti deriva
pure che la prop. 7.* è vera non soltanto per la somma, o pel prodotto, di due
termini, ma per una somma, o per un prodotto, di un numero qualunque di
termini; giacché, per es. -{po + y + z + t)='[x + {y + Z'\-t)\ = xr{y + z + t)
= = x.~[y + {z -{-()]=:= xy~{z + t) — xy zi . ~{xyzt) = '{x . yzt) = x+
"(yzt) = ==0(;+''{y.zt) = x + y +''{zt) = x + y + Z'\'l . Prop.
S."" Se X + y = N è j/f^re Se xy = T , è pu7^e x = T , 2/ = T. In
fatti , in virtù della (4), dopo di avere moltiplicato per ^, si ha x{x + y)==x
= ìix = ]a? (1, 2) la prima delle quali sarà letta 4: x è incluso, è contenuto
in {fa parte, è una sottoclasse di) y », ovvero « X IMPLICA ^ », e la seconda sarà letta « y include,
contiene {ha come parte, è una sopì^aclasse di) x », ovvero « t/ È IMPLICATO DA
x ». La RELAZIONE (1, 2) si chiama INCLUSIONE, o IMPLICAZIONE (ma non
conversazionale – vide: H. P. GRICE: “Il profferente IMPLICA che p”], ii%verse
l'una dell'altra. Imitando Poretsky *) la xy... (7) ; 5? + |/ = T... (8) sano
tali che avendo Itwgo una qualunque di esse avranno luogo le rimanenti. Poiché
le (6), (7), (8) sono le relazioni supplementari rispettiv. delle (3), (4), (5)
è evidente (prop. 2.*, osserv.) che basta limi- tare la dimostrazione della
proposizione soltanto a queste tre. Ora si ha: «) Se x=^xy, addizionando y ad
ambo i membri, sarà: X + y = xy + y^=y , che è la (4); moltiplicando ambo i
membri per y sarà in vece: ccy = xyy^='^y che è la (5). p) Se y=a) + y y
moltiplicando ambo i membri per a?, si ha: ooy = x(a) + y) = x, che è la (3); e
da questa, per a), segue la (5). Y) Se a?2/ = N, aggiungendo ad ambo i membri
ary, si ha: an^ + xy = oo{y + y)=xT===x = ìi + an^=xy, che è la (3); e da
questa, per a), segue la (4). Si osservi quanto segna : 1.^ Se è x=:^xy,
aggiungendo x ad ambo i membri si ha X -{- x = x -\- xy j ovvero T = x -\- yx =
x '^- y j che è la (8). 3.^ Se è ysstx^yj moltiplicando ambo i membri per y si
ha yy = y(x -^-y), ovvero N=rya;, che è la (6); aggiungendo, invece, x si ha
a;-|-y=a5+*"i'y=T+3/=T, che è la (8). 3.^ Se xy = 'N , aggiungendo ad ambo
i membri os, si ha 1/ -|- ocy = N + y , ovvero a: + y = « , tas- che è Ift (4);
prendeudo i supplementi d*ambo ì membri, si iui la che è la (8). 4.^ Se è
x^^y^atT f moltiplicando ambo i membri per x si ha xy = Tx = X , che è la (8);
moltiplicando per y e prendendo poi i supp}. dei dq^ prodotti : as -f- y = y ,
che è la (4) ; prendendo 1 supplementi d' ambo i membri: xy = N. Cosi,
limitatamente alle (3), (4), (5), (6) cba fra le sei relazioni disll* prop.
precedente hanno forma effettivamente differente , questa proposizione tenuto
pur conto di quanto si è detto in a) , p) , y) resta dimostrata, per ogni caso,
direUamente, nel senso che da ciascuna delle 4 relazioni si fa, direttamente,
discendere la verità delle altre tre. Osservazioni. Dalla prop. 13.* e dalle
(1, 2) segue che è la me- desima cosa scrivere ^oo, (9) ovvero scrivere una
qualunque delle sei relazioni cc = 0(Ty , y=x-\-y , ^ = N J a? = a? + i/ , y =
!vy , a) + y = T ] Corollario 1.® Poiché N = Na?, ed x = Tx qualunque sia a?,
si ha, per ogni termine x CoROLL. 2.^ Ogni prodotto di due , più ^ termini
logici x , y , . . . , t è incltiso in eiasouno dei fattori. CoROLL. 2.^ Ogni
somma di due » o più, termini logici x, y , . . . , h include ciascuno de- gli
addendi. In fatti, dimostrando la sola proposizione a sinistra, abbiamo^ per ia
legge di assorbimento ^ + (^y ... /i) = a? , ^ -f {xy ... h)==y , ... , t/i -f
{xy ... h) = h; e quindi, per la 2** delle (IO) osy ..,hy (H) hanno luogo
simultaneamente. Esse dicono che dalla negazione dei due membri di una
inclusione logica nasce l'inclusione logica inversa (l'inclusione diventa
opposta alla data). In questo enunciato, o meglio nelle formule, consiste il
così detto principio , o legge, di contrapposizione, 10. Proposizioni diverse
sulle inclusioni. Una serie di proposizioni sulle inclusioni , che ora daremo ,
permette un rapido maneggio di queste nel CALCOLO [cf. H. P. GRICE, FIRST-ORDER
PREDICATE CALCULUS WITH IDENTITY] logico, e di presentarne un'ap- plicazione a
tradurre in formule le quattro proposizioni tradi- zionali della Logica
deduttiva, e la teoria del Sillogismo. — he 9 proposizioni sono le seguenti.
Prop. 14.* Se x se wy ...hA; dunque,
sommando, o moltipli- cando. Prop. 17.' Se z x , z>y , ... , z>h z> xy
...h . In fatti, dal coroll. 2." prop. 13.% e dal coroll, della prop.
18." a sinistra, si ha rìsp. 1 a dritta, si ha risp. xy ...h a? , ... ,
x+y-\-...-\ A> h icy ... A irj/...ft
; quindi , pel princìpio del sillogismo (prop. 14,') segue la verità.
dell'assorta Prop. 18.' Se z(u + x) (v + y) sarà :C>xy , z>uy , C^v . In
fatti, per la addizione, è ! distributiva della [ moltiplicazione,
zxi/-\-uy-\-xv-\~ui:i ; d'onde, per la proposizione precedente (a sinistra ed a
dritta ri- spettivamente), segue la verità dell'asserto. N.B. — La prop. 18.' è
pure vera se le ipotesi sono; z^ux + vy , Prop. 19.' Se b a sarà (a + u)f) = (a + u)(b + u). In fatti,
au + b = au •{- b{u + u) ^={a-\-h)u-\'ì)u = au-^ìni, giacché da &a segue
ab=^a. Prop. 20.* Se b a& , e quindi
au + bù'^ b . Ravvicinando i due risultati, si ha, in fine, b x . (2) Il
binomio a secondo membro è lo sviluppo normale della fun- zione f{x) nel
termine logico x. Data Aa?), e ridotta alla (1), il processo indicato mostra
come si costruiscono i coefficienti a , & dei termini a? e a; del suo
sviluppo normale. Però, è interessante vedere come essi si determinano
direttamente dalla f{x) nella forma nella quale è data, cioè senza ridurla
dapprima alla (1) e poi senza seguire il procedimento tenuto per ricondurla
alla (2). Poiché la (2) deve essere vera per qualsiesi valore di x, allorché,
in essa, al posto di x si pone una volta T ed un'altra N, si avrà
rispettivamente /•( N) = aN + ftN = aN + &T = ft ; opperò, i coefficienti
cU x e di x nello sviluppo normale di f{x) sono rispettivaìnente ciò che
diventa, f(x) quando ai pasto di x si pothe una volta T ed un' adira N ; vale a
dire si ha Esempio. Sia A^) = AT)..; + /-(N).5 . (3) fix) = (l + x)(m -{- x)h
-{- px{q -{- x) + r ; poiché /(T) = (; + T) (m + N)A +pT(5 + N) + r = w»A 4-2?g
+ r /(N)=(Z + N)(m + T)A+i>N(5 4-T)+r = iA + r ; smtk f(x) =• {mh 4- i?? +
^) * + (^* ~h ^) a? • Corollario. Dalla nx)=nT).x+m).x, moltiplicando una volta
per x ed un'altra per Xy si hanno le r — 83 — segueuti fopmole (di Mac Coli.)
ccfXx) = xf(T) , xf{x) = xm) . (4) h) Sia ora f{Xyy) una funzione di due
termini logici x,y. Considerando la f(x,y) come funzione della sola ^r, si ha
per la (3) ax ,y) = nT ,y).x -\- r(^ ,y)x . (5) Ora è, per la stessa (3):
AT,z/) = AT,T).i/ + AT,N)^ AN,2/) = AN,T).2/ + AN,N)^; dunque, sostituendo ia
(5), si avrà f{x , i/)=AT , T).^2/ + AT , N).r^ + AN , T)xy^f(f{ , ì^)~xy , (6)
In questa formula consiste lo svilupiH) nonaale di f{x , y) nei due termini
logici x^y. I varii addendi dello sviluppo sono for- mati coi varii costituenti
di T moltiplicati rispettivamente per ciò che diventa la f{x,y), allorché al
posto ^ì x &à y si pon- gono T ed N secondochè, in essi, x ed y figurano
direttamente, coi loro supplementi. e) Sia ancora una funzione f{x,yiZ) di tre
termini logici x,y,z. Dalla (6) si deduce che Aa?,l/.2:)=AT,T,2:).^l/-t-AT,N,^)^^+AN,T,^):^i/+/^N,N,2:)^^
, (7) e dalla (3) che AT,T,^) = AT,T,T)^ + AT,T,N)^ AT,N,;^) = AT,N,T)^ +
AT,N,N)^ AN,T,^) = AN,T,T)^ + AN,T,N)^ AN,N,^) = AN,N,T)^ + AN,N,N)5 ;
sostituendo nella (7), si avrà: A^,y,^)=AT,T,T)^(/^+AT,NTT)a;i;^+AN,T,T)^i/^+AN,N,T).^^2:+AT,T,N)r7'2/^+AT,N,N)^^z+AN,T,N)à;i/5+AN,N,N)^]/5.
In questa formola consiste lo sviluppo normale di f(.v,y,z) nei tre termini x
,y yZ. — l varii addendi , si presentano anche A. Dbl Rb ~ qui come formati dai varii costituenti di T
moltiplicati ciascuno per ciò che diventa f{x ,y ,z) quando al posto delle x ,y
^z si ponga T od N secondochè, nel costituente che si considera, x, yyZ entrano
direttamente, o per mezzo dei loro supplementi. d) Il procedimento precedente è
generale; esso può essere seguito per una funzione di un numero qualunque di
variabili. Si arriva allora a ciò che si chiama lo sviluppo normale di que- sta
funzione; ed esso si comporrà, se n è il numero delle variabili da cui dipende
la funzione, di 2** addendi, formati coi 2** costituenti di T corrispondenti a
tali variabili, moltiplicati ri- spettivamente per ciò che diventa la funzione,
allorché al posto delle variabili stesse si pongono i termini T ed N secondochè
queste, nei costituenti in considerazione, entrano direttamente, o col mezzo
delle variabili supplementari. Cosi, ades., data una funzione f{x ,y ,z ,t ,u)
di 5 variabili, considerando il costi- tuente xyztu, per avere un addendo dello
sviluppo normale della funzione si deve moltiplicare xyztu per /"(T , N ,
T , N , T). In pratica , quando si vuole ottenere lo sviluppo normale di una
funzione in n variabili data come somma di più ad- dendi, giova, il più delle
volte, moltiplicare ogni addendo nel quale manchino r variabili per lo sviluppo
di T in queste r variabili, e poi fare le riduzioni opportune. Cosi da f{x
,y)=ax '\-by -^ e sì passa ad f{oo , 1/) = aa;(2/ + 2/) + hy{x + x)'\-c{xy + xy
'\- xy + xy) = (a + & + c)a7i/ + (a4-c)a?i/ + {l) + c)xy -\- cxy ,
moltiplicando i tre addendi della t\x,y) data rispettivamente per gli sviluppi
di T in x, in y, ed in x,y, e) Da quanto precede risulta che ciò che
caratterizza lo svi- luppo normale di una funzione logica sono i termini che
moltiplicano i varii costituenti di T nei varii addendi dello sviluppo. Essi
saranno chiamati discriminanlì della funzione *); così i discriminanti di una
funzione logica sono i valori che assume la *) Adoperando un modo di discorrere
usato nel!' Algebra ordinaria si può dire che i discriminanti di una funzione
sono i coefficienti del suo sviluppo normale.] funzione allorché al posto delle
variàbili si sostituiscono i ter- ììiini T ed N in tutti i lìiodi possibili',
cosi ancora una funzione logica dì ii vaìHabili possiede 2** discriminanti.
Quando un discrimiuante di una funzione f{u;,y,...) risulta dal porre per x il
termine T, il discriminante si dirà positivo rispetto ad a? ; e quando in vece
risulta dal porre per a: il ter- mine N, si dirà negativo rispetto alla x; cosi
fra i 2" discriminanti di una funzione logica in u variabili ve ne sono
2""* jpositivi rispetto ad una ìuedesima variabile^ ed altrettanti
nega- tivi ; ed in generale, rispetto ad r variabili simultaneamente ve ne sono
2^'' positivi^ ed altrettanti negativi. La forma generale che può essere data
al discriminante di una funzione f{x,y,...,t) di n variabili a;,y,...,t è la
seguente allorché per t, ,t, ,...,t„ si prende una combinazione qualunque, n ed
n , dei 2n termini n volte n Tolte T,T,...,T , N,N,...,N . I discriminanti di
T, o di N, o di un termine qualsiasi a, con- siderati come funzioni logiche di
un numero qualunque di va- riabili, sono tutti eguali a T, o ad N, o ad a. Ciò
risulta evi- dente da quanto or ora si è detto, e direttamente per T ed a
(incluso N) dagli sviluppi già dati di questi termini. f) Lo sviluppo normale
di una funzione si dirà pure svi- luppo di BOOLE. Nel caso di sviluppo in un
sol termine x, in luogo di dire svi- luppo normale, o sviluppo di Boole, in x,
diremo pure espres- sione binomia in x, 15. Proprietà dei discriminanti e delle
funzioni sviluppate, a) Se una funzione f{x ,y ,,..) risulta dalla somma , o
dal prodotto, di due altre 9(07,2/, ...), 4^(^,1/, . ..)» sicché si abbia per
tutti i valori delle x ,y ,. . . o /*( (37 , 1/ ,...) = 9 (a? , 1/ ,...) + 4;
(a? , 1/ , ... ) /•(a; , 2/ , . . .) = 9(07 , 2/ , . . .) . 4;(a? , y , . . .)
, — 36 — ponendo al posto delle x,y, ... supposte in numero di n, ì va- lori
Tj,Tj,,... , T^ di cui nel n.^ precedente e), in fine, si avrà o Ora /'(t, , f,
, ...) è un discriminante di f{x , y , ...) e 9(t, , Xg , ...) , ^(t, ,Tj,...)
sono i discriminanti ad essi omonimi (cioè positivi negatiti rispetto a
variabili dello stesso nome) di 'fs » •
• •) • Ora 9(Tj,t,,...) è un discriminante della 9(0^,2/,...) ed
~/'('r,,Tj,...) è il supplemento di f{r^ , Tg , . . .) che è il discriminante
omoni- mo delle f{x ,y ,.-.)', dunque Prop. 26.^ Il supplemento di un
discriminante di una funzione logica è il discriminante omonimo della funzione
logica supple- mentare. e) Dal teorema in a), e dal modo di presentarsi dei
discriminanti di una funzione nello sviluppo normale della funzione stessa
segue la Prop. 27. Nello sviluppo della somma, del prodotto, dì più funzioni
logiche, i coefficienti dei varii addendi si ottengono sommando, moltiplicando,
i coefficienti degli addendi omoni- mi (che moltiplicano lo stesso costituente)
delle singole funzioni. Dal teorema dato in b) segue poi la Prop. 28.*"
Ia) sviluppo della funzione logica supplementare di una funzione logica data si
ottiene prendendo i supplementi dei coefficienti dei singoli addendi nello
sviluppo della funzione data. Cosi, ad esempio, le l'unzioni supplementari
delle f{30 , y) = axy + l^Joy + cxy + djoy , sono rispettivamente le funzioni:
~f{x) = ax + àx ~f(3o , y) = aotry + hxy + cxy + dxy - Osservazione. La
proposizione può dimostrarsi direttamente sommando, o moltiplicando, due a due
gli addendi omonimi, degli sviluppi delle funzioni date , ed osservando che
nella moltiplicazione di questi sviluppi, il prodotto di un termine dell'uno
per un termine non omo- nimo deir altro è nullo. La proposizione può pure
dimostrarsi nei due modi seguenti: 1/* modo. Limitiamoci al caso di due
funzioni di due variabili. Le due funzioni _ _ /(^ > y) = «^y + ^^y + ^^y +
^y 9(x . y) = axy + bxy -f cxy -f "dxy sommate, membro a membro, danno
/(aJ » y) + 9 (•'^ > 2/ )=(« + a) ^y + (^ + ^) ^y +(c -f e) a;y 4- (d +5) ay
=T . xy+T . j:y +T . ij/-f TÌy=T {xy -\^xy+xy-\'~xy)='ì! ; moltiplicate, in
vece, membro a membro, danno f{x , y) . ^(x ^ y) = aa , xy -\- bb , xy -{- ce ,
xy -\- dd , xy = ^ ; dunque è 9(^,y) = "/(^,y)- 2.^ modo (Whitehead, n.®
29, 6). Per una funzione di una sola variabile _ f{x) = ax 4- 6x , si ha ___ _
~f{x) = {a -\- x) {b -[- x) = ax -^ bx -{- ab , ~/{x) = (a -|- ab)x + (^ + *^)*
= ax -f- ftas , — 38 — e quindi la proposizione enunciata è vera. — Supponiamo
ora che la proposizione stessa sia vera per una funzione di un numero n di va-
riabili x,2/,...,^^y + (^'^y + ^«^'^z ~f{x,y,z)=axyz-\-hxyz -\- cxyz-\-dxyz -\-
exyz-\-~fxyz~\' gxyz-\-/ixyz , Ora, prendendo i supplementi d'ambo i membri di
ciascuna di queste relazioni, con le formule di De Morgan (prop. 7.^ ed oss.
dopo prop. 8.^), si ha /'(.^ ,y) = (ct + x + y) (& + a? 4- y) {c + x + y)
(rf + a? + y) r{x,y,z) =
(a\x\y\-z) {b\x-\-y^^) (^+.^+'^+'3:) {d^rOsAry\z)
{e-\-^ì)\-y^z){r'\'X^y^z)(g\x^y\'Z){n-\-x-]ry-\-z\ che sono appunto gli
sviluppi domandati di f{x ,y),f(x ^y ,z), N. B. — Il Sig. PoRETSKY {Bulle tin
de Kasan, 2.* serie, t Vili, n.® 2) propone pei discriminanti della funzione
f(x , y , ...) che figurano nel suo sviluppo reciproco del normale, la
denominazione di CO-OPERANTI (cf. H. P. GRICE), quale correlativa dell'altra di
coefficienii, già adoperata allorché di f sì ha lo sviluppo normale. ValoìH e
doniinio di estensione di una funzione logica. Una funzione logica /'(.x* , 2/
, . . . , ^) di un certo numero n di variabili X ,y ,,.,,t , assume, in
generale (cioè quando non dipenda formaUnente dalle .t , 2/ , ... , ^ , come
nel caso in cui essa si ridu- ca ad un termine determinato a) valori diversi in
seguito ad una diversa scelta delle j? , 7/ , ... , /. La collezione di tutti i
valori possibili per la f{x , 2/ , . . . , /) in conseguenza di tutte le
possibili scelte delle x,y,,.,,t si chiama il dominio, o il campo di estensione
della f{x , 2/ , . . . , /). Sitfatto dominio si dice illimitato se tutti i
valori sono possibili perla f{x ,y ,... ,t); si dice limi- tato nel caso
contrario. Le parole illimitata , limitata si appli- cano pure conHspondentemente
alla funzione /'(j:;,!/,... , ^),— Di-oendo che il valore a di una funzione è
inferiore , più piccolo del valore ^ allorché è soddisfatta la inclusione a • •
• > B « > • • • > H « Un'equazione in cui uno dei due membri è nullo e
l'altro è presentato col suo sviluppo noì'male si dirà in forcina noì'niale.
Così la forma normale dell'equazione proposta è la seguente A a A a 072/. . . ^
+ Bp B p cry .. .t-\- .. . ■\- Hx xy...t = ^, (3) Esempii. 1.^ Sìa data
l'equazione ax -{- bx =:z ox -\- dx ; i suoi discriminanti sono i determinanti
formati, nel modo sopra indi- cato, con ì termini delle due orizzontali ab ed m
ab od cioè a e a e :=ac -\- a>c , b d bd = bd i-bd ] e r equazione, in forma
normale è la seguente (ac -{- ac)x -{- {bd -f- bct)x = N . 2.^ Sia ancora data
l'equazione ax -|- bx = cx ; siccome può scriversi cx=:cx -{- Nx , cosi questo
caso vien ricondotto al precedente ponendo (i = N ed osserv. che rf = T.
Trattandolo diret- tamente, i suoi discriminanti si caveranno, nel modo sopra
indicato, dal quadro e saranno, perciò a b a 6 e N e* T ac'4-ttc , òT4-òN==6 L'
equazione, in forma normale , sarà {oc 4- ctc)a; + òx = N . 3.° Sia l'equazione
ax '\- bx == e. — Potendosi scrivere c = ca;-j- cas, i discriminanti
dell'equazione, e la forma normale di questa, si otter- ranno facendo
corrispondentemente e dappertutto d = c nell' es. 1.*^, ovvero, direttamente,
cavandoli dal quadro a b a b e e e e I discriminanti sono ac -}- oc ^ bc -{ bc
j e la. forma normale dell'equa- zione è _ _ _ _ _ {cLc -{- ac)x -f- {bc -f-
bc)x = N . Sia l'equazione ax-{'b=cx] poiché b==bx-{-bx e cx=cx~{-ì^x ^ i
discriminanti saranno cavati dal quadro a + b b ab b e N e saranno perciò (a
-}- 6)c -|- afte , 6. L' equazione in forma normale sarà [(a + b)c -\- abcjx
-\- bx = 'N . 6.*^ Sia l'equazione axy -f bxy + cxy + dxy = exy + fxy + gxy -\-
hxy ; i discriminanti di essa, cavati dal quadro a b e d a b d e / g h saranno
e f g k ae-^- ae , bf-\-bf^ cg -^^ cg , dh -\-dh : e l'equazione, in forma
normale, sarà (oe -f ae)ajy + (V + hf)xy + {cg + cg)xy + {df + d/)xy = N , — 46
— 6.*^ Sia ancora l'equazione axy + xy + dxy = xr/ + gxy ; se la scriviamo come
segue ricadiamo subito sul caso precedente ; cioè troviamo che i discriminanti
sono da farsi col quadro: a T N rf a N T d T N ^ N N T // T } e sono, perciò _
a , T , ^ , d ; sicché l'equazione, in forma normale, sarà axy + jry + r/xy +
dxy = N . OsservazioThe, Quando nello sviluppo normale di una funzione logica
manca in un addendo il coefficiente del relativo costituente, allora è da
intendersi per esso il termine T. Cosi, se manca addirittura l'addendo che
porta un dato costituente, esso si considererà come presente e col coefficiente
N. Questa osservazione è stato appunto tenuta pre- sente nel trattare il
precedente esercizio 6.® h) Quando sia data una inclusione contenente termini
va- riabili, si diranno discriminanti della inclusione, i discriminanti di una
qualunque delle equazioni che equivalgono alla inclusione. Così, data la
inclusione Aa; , 1/ , . . . , e per
massimo a + P + ... + X- Ora, perchè l'equazione sia pos- sibile per una
medesima scelta delle x ,y ,... ,t ^ è necessario .. che questi due dominii non
sia- AB...H A+B+...+H «P...X «+P+...+X no mutuamente esclusivi, ^^^' ^'"
cioè che il loro prodotto, in senso logico, non sia nullo, e però è necessario
che si abbia (fig. 7.% 8.^). AB.,.H -^^] tende che debbono essere soddisfatte
coatemporaneamente, scegliendo per tutte in uno stesso modo le incognite da cui
dipendono. È proposizione fondamentale per lo studio dei sistemi di equazioni
la seguente Prop. 3L* Ogni sistemjx di equazioni è equivalente ad una sola
equazione i cui discriminanti sono le somme dei disoHminanti omonimi delle
singole equazioni del sistemai. In fatti, siano /,(^,2/,...,0 = N ,
/;(a7,2/,...,0 = N , ... , ^»(a?,|/,...,0 = N (6) m equazioni costituenti un
sistema. Per quelle determinazioni delle a? , 1/ , . . . , per le quali queste
equazioni sono soddisfatte simultaneamente, è soddisfatta pure la equazione che
risulta dal sommarle membro a membro; vale a dire la /; + /; + . ..+/;.=N . o)
Viceversa, ogni determinazione delle x ,y ,,..,t per la quale è soddisfatta la
(6), in virtù del CorolL della prop. 9.% a sini- stra, soddisfa pure alle /;=N
,/;=N , ... , /:,=N -, cioè simultaneamente alle equazioni. Dunque, il sistema
e la equazione sono equivalenti. Ora, per la prop. 25.* e per la def. data al
n.° 18, a), essendo i discriminanti della (7) le somme dei discriminanti
omonimi delle (6), la proposizione enunciata risulta dimostrata. I
discriminanti dell'unica equazione, equivalente alle equazioni di un dato
sistema , si chiamano discriminanti del sistema. — Così , se i discriminanti
delle /; = N , /i = N , ... , ^ = N sono rispettivamente Aj , B^ , . . . , H^ ;
A, , B, , . . . , H, ; . . . ; A^ , B^ , . . . , H^ , i discriminanti del
sistema saranno A = SA, , B = 2B, , ... , H = SH, , e l'equazione (in forma
normale) che sostituisce il sistema stesso Kooy . . . ^ 4- Bxy . . . ^ + . . .
+ H^i/ . . .^ = N . (8) 21. Sistemi di inclusioni. La definizione di sistema si
estende al caso in cui in luogo di equazioni siano date delle in- clusioni,
ovvero delle inclusioni ed equazioni insieme; e la pro- A. Dbl Rb — Algebra
della Logica, 7 — 50 — posizione 31.* regge pure in questi due casi. — In fatti
, siano A (^ , 2/ , . . . , Yt i
discriminanti delle f^ e 9,(e = 1 , 2 , . . . , m) rispet- tivamente omonimi,
per essere [n. 18.% ì))] A,a, , B,p, , . . . , H,x. quelli della /Jqp^. ,
saranno A^a^ + A,a, + . . . + A^a^ = 2Aa B,P, +B,p, + ...-hBX=2Bp" • • • •
• • • quelli dell'equazione unica che rimpiazza il sistema (10), epperò il
proposto (9). La forma normale dell'equazione equivalente a (9) è la seguente
SAà ,ODy..A-\- SB^ . 0?^ . . . ^ + . . . + 2Hx . ^'^ . . . ~t = N . Se un
sistema contiene inclusioni ed equazioni, ciascuna di queste ultime può essere
considerata come inclusione possedente per termine maggiore il termine N.
Definizione, I discriminanti della (11) si chiamano pure discriminanti del
sistema. P. e., sia a formare P equazione equivalente al sistema oas -|-
6a; • • • > ^9 + ^9. La risultante
dell’eliminazione delle (v,y ,... yt dalla (10) sarà perciò la _ _ « _ » _ («9
+ «9) (&9 4- ^9) . . . (^9 + /29) = N , ovvero la _ __ _ e scrivendo 9 e 9
per disteso, la ab...h\ aS.„hu-\'{a+S-^...'\'Ji)u\ +a&...^j(a-f&...+^)t«+a&...^w|=N
; e questa è, evidentemente, soddisfatta indipendentemente dal valore di u,
poiché sono nulli i coefficienti di w e di u. Corollario 1.° Se nella (10)
facciamo i^ = T, con che w = N, avremo f{a) ,2/,...,^) = a~|-^ + --- + ^; se
facciamo , in vece , te = N , con che w = T , avremo f{x , 1/ ,...,/) = a&
... /z. — Gli estremi ab . . . h , a + b -|- • • • + h del dominio di
estensione della f (x , y , . . , , t) sono quindi valori effettivamente
raggiunti dalla funzione (cfr. prop. 29.). Corollario 2.° Poiché la (a-\- b + ,
,.-{- h)u -\-ab ...u rappresenta tutti i valori compresi fra ab,.,h ed
a+&+... +/^ (prop. 18.% oss. in fine), la prop. 26.* si completa affermando
che i valori di cui una funzione logica è suscettibile sono tutti i va- lori
compresi fra ilpr^odotto e la somma dei suoi discriminanti. Corollario 3.° Una
funzione logica è illimitata se il prodotto e la somma dei discriminanti
valgono rispettivamente il nulla ed il tutto \ cioè, riferendosi alle
indicazioni di sopra, se contem- poraneamente aì)...h = ^ , a + & + ... + ^
= T, ovvero od anche _ _ Corollario. Perchè due funzioni f(x , y , ... , t) , 9(x ,
y , ... , u) dello stesso > di diverso , numero di variabili abbiano eguale
estensione è necessario e basta che il prodotto e la somma dei discriminanti
dell'una siano rispettivamente eguali al prodotto ed alla somma dei
discìHminanti dell'altra. ^ Corollario 5.® Se il prodotto dei discriminanti di
una funzione logica eguaglia la loro somma, la funzione ha un sol valore (sì
riduce ad un termine indipendente dalle incognite). In fatti, in tal caso, per
essere sarà (prop. 10.^) a = & = ... = ^ ; epperò si avrà : f(x , 2/ , ...
, f ) = a{xy ... t + xy .,.t-{- ... + xy ... ^) = aT = a . Si puo trovare, col
mezzo della precedente proposizione 33.% la condizione data al n.^ 19 [eguagl.
(4)] per l' esistenza di valori comuni ai dominii di estensione delle funzioni
/(a;,y,...,«) , 9(05 , y ,...,«) . Detti A , B , . . . , H i discriminanti
della /> oc } P 7 • • ^X quelli della 9 , ed ii un termine assolutamente
arbitrario, poiché i dominii di esten- sione della /, 9 sono quelli stessi
delle due funzioni (A + B + . . . 4- H) w + AB . . . Hw = Sm + Pt4 del termine
w, vi saranno valori comuni alle /, 9 tutte le volte che è possibile scegliere
u in modo che sia Sw -j- Pw = aw -{- *Ku . Ora^ essendo Sa + Sa , Pit + Pw i
discriminanti di questa equazione, ciò avviene tutte le volte che si abbia (Sa
+ Sa)(Pit + Pw) = N ; ovvero, essendo SPàir=(A + B + ... 4-H) AB...Hfltp...Y
(à+p +-...+x)=AB...H . flìp...x SPait = SPap . . . xap . . . x = N SPaw = AB .
. . H . AB . . . H . a« = N SPait=AB ... H(À-f B+ ... +H) (a+p +- ... +x)»P -
X=ÀB ... Hotp ... x , -57 — quando sia AB . . . Hap . . . X -f ap . . . ^ÀB . .
. H = N , che è appunto la (4) citata. 24. Equazioni limitate ed equazioni
i/^^meto^e. Un'equazione logica fra più variabili x ,y ,.. .,z ,t si dice
illimitata rispetto ad una variabile t, allorché scegliendo comunque la f, la
equazione sia possibile per valori da determinarsi delle altre varia- bili a? ,
1/ , ... , ^ ; e si dice illimitata rispetto a più variabili, separatamente
considerate, quando una tale proprietà ha luogo per ciascuna di dette
variabili. Un'equazione logica si dice illimitata simultaneamente rispetto a
più variabili quando, facendo di queste una scelta arbitraria, la equazione sia
possibile per un'opportuna scelta delle altre variabili. Un'equazione non
illimitata si dice limitata. Un' equazione illimitata rispetto a tutte le
variabili da cui dipende ha, evidentemente, tutti i suoi discriminanti nulli ;
giacché, scritta, p. es. , in forma normale, . . . + L^ • • • zt-^- . . . = N ,
se è ljxy...zt un suo termine qualunque, ponendo T al posto delle variabili che
figurano in esso direttamente, ed N al postodi quelle che vi figuraflo coi
supplementi, il termine stesso si riduce al suo coefficiente L, mentre con
l'analoga sostituzione gli altri si annullano. Dovendo, intanto, l'equazione,
per ipotesi, essere soddisfatta si ha L = N. b) Sia f{x , t/ , . . . , ^ , = .
. . (11) un' equazione logica, nelle variabili a?,2/,...,z,^, e supponiamo dato
a ^ un arbitrario valore, sicché essa diventi equazione nelle sole variabili
a?,t/,...,z. Scrivendo questa equazione nella sua forma normale , sia essa kxy
. . . z + Vixy ... ^ 4- ... -h Vi.xy . . . .s: = N ; (12) saranno A,B,...,H
funzioni della sola t che potremo pensare scritte come segue k = a,t + aL~t , B
= Pj^-hp/, ... , H = x\^-hx/; (13) *) Whitehbad, l, e, n.® 32, pag. 59 e 60. A.
DfCL Rb ~ Algebra della Logica. . 8 \ — 58 — sostituendo nella (12) avremo la
(11) nella forma a^xy .. .zt-\- p^a^ , , . zt -{- ,. , -f Xi^ . . . ^^ + oL^xy
. . . ^7 + ?iXy ... ^7 + ... + Xì^y . . . ^^ = N ; dalla quale si vede che «i ,
Pj , . . . , Xi so^^ i discriminanti della /* (pensata come funzione dell'intero
numero di variabili) posi- tivi rispetto alla f, e che ai,p8,...,Xi sono i
discriminanti ne- gativi rispetto a t. Ora, perchè la (12) sia possibile deve
aversi AB... H=N, cioè (aj + a,ì) (^,t + p^O . . . (x,t + X J) = N , ovvero
aiPi---Xi-^ + a8p8...Xi-^ = N (14) pel dato valore di ty e per ogni altro
arbitrariamente preso; vale a dire, in grazie di quanto si è detto in a), deve
aversi «iPi • • • Xi = N , a,pj . . . Xg = N . Cosi : Prop. 34.^ Affinchè
un'equazione logica sia illimitata, rispetto ad una delle incognite da cui
dipende, devono essere nulli il prò- dotto dei discriminanti positivi rispetto
a quella incognita, ed il prodotto dei discriminanti negativi. Per trovare le
condizioni di illimitazione rispetto a più va- riabili occorrerà scrivere per ciascuna
variabile le due condizioni che risultano dalla proposizione precedente. e) Sia
ancora la (11), e supponiamo fatta una scelta arbitria di alcuu'e ...z,t delle
variabili; sicché la (11) diventi una equazione nelle sole variabili rimanenti
a?,?/,... Allora, scritta in forma normale, la (11) sia aan/ * . . + ^(vy + . .
. + xooy . . . = N . (15) Le a , p , . . . , T conterranno le . ..z ,t , e
perciò nel loro svi- luppo normale rispetto a queste , .,z,t si presenteranno
come espressioni della forma et = fltj . . . Zt -p . . . -|- (Xm • • • zt p =
p^ , , , zt -|- . . . -p p„ . . . /2^f T =T^ . . . zt -\- . , . -\-T^ . . . zt
. — 59 — Sostituendo questi valori nella (15), potremo scrivere la (11) come
segue ...+(T,...s:^-f-...-fTjj,...^0^-=N ; (16) e da questa si vede che a^,. .
. ,a^ , Pj , . . . , p^ , . . . , t, , . . . , t^^ sono i discriminanti della f
considerata come funzione di tutte le date variabili, e precisamente che «1 ,
pj , . . . , T^ sono positivi rispetto a tutte le ..,zt «j , Pj , . . . , Tj »
» » alle ,„Zf e negativi risp. a t •»•>•••>• • • • • •• • • • • • •• • •
•• «pk » P^ > • • . » T'i^ » negativi rispetto a tutte le . . . zt Ora,
perchè la (15) sia possibile per valori da trovare di a;,2/,... , . dovrà
aversi «p . . . t = N , cioè (a^. .zt-{-...-j-a^.,.zl)
(Pi...-3:^+...+pjj... (^ 4" ^)^
4" ^^^ > orf 4" ^^ > e quelli negativi (pj^c)d + hk, hd-\-bd ,
cd4-cd , Nd4-Td = d . Il prodotto dei primi (tenuto presente che sono tutti nel
loro sviluppo normale rispetto a d) è (a 4" ^ 4" ^) (^ 4" ^) (^
4" ^)^ 4" *^^ . ca . ah . ad^=^ ad '\- abc . d ed il supplemento di
questo prodotto (a + d) (a + 6 + e 4- 5). Il prodotto dei secondi è, in vece,
ho,d, mentre è ab ed il prodotto di tutti i discriminanti. Dunque, il dominio
di estensione della x è 6c . rf ropomamooi ài trovare: 1,^ la risuUamiU
(oondìzìoae per la sua possibilità); 2.^ % damimi di estensione deUe x j y , z,
1.^ Le tre equazioni del sistema possono essere scritte x^ome segue xyz -|-
Nosyz -f- xyz -[- Hixyz -|- l^xyz -[- Nojyz -j- Nasya + ì^xyz = a xyz -j- xyz
-|- ÌHxyz -j- . . = è '^ ; (31) 05^2 -|- 'Nxyz -f- -\- xyz -|- Nojyz -|- d'onde
segue che i loro discriminanti sono rispettivamente b,b,b,b,b,b,h,b\ , (32) e
quelli del loro sistema a + 6-|-c , a-{-b-^c , a -{- b -^ e , a-|-6-{-c, a + 6
+ c , a-f-ft + c , a-|-6«-}-c , a + ^ + c- (33) La risultante sarà, dunque (a +
6 + e) (à + 6 + e) (a 4- 6 + e) (a 4- 6 + e) (a + 6 + e) = N ; ovvero, per
essere (prop. 6.% pag. 11) (a -^ b -\- e) (a -\- b '\' e) =^ a -\- b -]- ce = a
-{- b {a -\- b -\- e) (a -{- b -{- e) z= e '\- {a '\~ b) (a '{' b) = e -\- ab
-{- ab , e poi pure (a -}- ^) (e + «^ + «&} = ca -f" ^'^ ~l~ ^^ , sarà
(a 4- 6 -I- e) (6c + ca -|- oò) = N ; o. in fine 1 aòc -j- 6ca + ca^ = N . (34)
2.° Dal gruppo (33), confrontato col modo come sono state scritte le (31), si
scorge che i discriminanti del sistema positivi rispetto ad x hanno per
prodotto {a -^ b -{- e) (a -{- b -{' e) (a -{- b -\- e) (a -\- b -\- e) = a(b
-^ e) -^^ a,bc e quelli negativi per prodotto (o 4- è -[- e) (a + ò 4- e) = ò +
e , ^ f-^ — 67 — ne segue che il dominio di estensione della x è h '\- e -\'~c) . In vista della simmetria che
presentano le equazioni del sistema rispetto ad una permutazione ciclica delle
xyz ed alla corrispondente permutazione ciclica delle a ^h ^c ^ si può
affermare che i dominii di estensione delle y , z sono rispettivamente - ^ - •
(86') a 4" ft ^ a6c -|- e (a + 5) ) Visto che dalla (34) seguono le
ahG'=.hGa^=.cab'=il che danno ohe = bc = ca = ab e tenuto pure presente la
prop. 5.*, le (36) , (35') , possono pure scriversi come segue b -\- e ^bc -{-
a ' e -{- a^ca-^-b a'{' b^ab ^ e x — > «I» ^ * * * ^ Q ^®o- risp. ad y , Pj,
... , Pv » » » ^^S' * ^ ® pos. risp. ad y , Pv+i » - » PpL » * » >> ^ ®
^^S' risp. ad y ; perciò, il prodotto dei discriminanti negativi rispetto ad y
nella data equazione è QS e la somma dei supplementi dei discrimi- nanti
positivi rispetto alla stessa y è P-f-R ; da che segue essere QS Qa?-f-S^
ovvero PRo? + PRiZ? = N , si vede che per ogni valore di x del dominio RP ad
1/, con E,F i prodotti analoghi rispetto a. z, e cosi via via con L,M i
prodotti analoghi rispetto a ^, si può scrivere Sostituendo questi valori nella
(1), o soltanto un gruppo di essi, si avrà, come risultato della sostituzione,
una equazione nella quale entrano come incognite le Wj , t^j , ... ,u^o un
gruppo di que- ste, e tale equaz. è illimitata risp. a ciascuna delle nuove
incoga. [Una equazione ad una incognita sia stata ricondotta alla sua forma
normale aw + b.v = ì!i ; (11) poiché è a l'unico discriminante positivo deir
equazione, e ?j l'u- nico discriminante negativo, sarà al) = la risultante
dell'equa- zione stessa, e t) -|- cd(d
-|-«)^t) -|- cd(d'{-cb)ìw= =ab . uv^buv -f- o>cduv -f- cd6 . wv , sicché bxy=abGduv=iN
; a;y=a6(a-|-ftc)uv -f- o con l'adoperare le notazioni del n.® 25, rf), conduce
ad a? = (P + Q)u + RSw = {aà' + W)u, + cc\ ùdu^ , (16) e quindi [form. (5)
prec. e form. (46)
n.° 25, d)'\ ad y=A^(wJw,+B,(Wj)w,= = {aà! + ed, dd) u^u^ + W (aà' + dd') u^u^
+ (ce' + aa'. dd') u^^ + dj^ (ce' + W) u^u^ , (17) essendo _ A (Mj) = {aa' +
ed. dd') u^ + {ed + aa!. dd')u^ — 77 — d'onde _ A(Wi) = aa'(6v' -f (id')u^ +
cc'(aa' + M)u^ , e _ B{u^) = bb'(aa' + dd')u, + M' {ed + ftft') ti^ . Dallo stesso quadro di cui sopra si
vede anche subito che, per continuare ad applicare lo stesso procedimento
tenuto in h), si deve osservare che il dominio di estensione della z, essendo
a'c\ b'd' ^) • ^ » ^(tt , t>) = (a 4-
hd)uvi 4- d{h -\- a)uv f (6 4" clcì)uv 4" (^ + cd)iM3 , ^{u , 1?) =
(a 4" c(i)wD 4" ^(^^ 4" ^c)w'u -|- c{a 4- &)«*v 4* ^(*
4" «,) = N (a^ + b,) {a, + b,) {a, + bj (a, + &J = N Cosi, visto pure
che le x^y, con formule analoghe alle (39), in vece che in funzione di due sole
variabili indipendenti u^ , u^ possono esprimersi iu funzione di un numero n
u^yU^,. , . ,u^ di siffatte variabili, e che ciò fatto si arriva a conclusioni
analoghe alle precedenti , abbiamo: 1.® che due variabili di assegnate
estensioni soddisfanno ad una infinità di equazioni non conte- nenti altre
variàbili; 2,^ che due variabili di estensione illimitata possono essere
indipendenti^ o collegate da una infinità di equazioni illimitate rispetto a
ciascuna delle vaìHabili e non contenenti altre variabili. Ciò viene a significare,
in sostanza, il fatto da ritenersi evidente, che esistono infinite equazioni in
due variabili che sono illimitate rispetto a ciascuna di esse). Questi
risultati possono essere estesi al caso di un numero qualunque di variabili. Le
(43) contengono le (42) e contengono inoltre le seguen- ti, come si rileva
sviluppando i prodotti e sommando, l^fl^afi^,, + ^.u^flK + 2à,«,àA..+ ^o.pypm =
N (44) Sa.^.^A. + ^fl^K + ^dflAK + 2«À¥«. = N , (45) e quella che si deduce
dalla (44) scambiando le a con le b. La (44) e quest'ultima possono scriversi
pure come segue 2« ^a, + 2à,a^àj = N , 2^? A^, + 2^À^, = N ; (46) e poiché da
(47) afl^a, -f afl^a^ = afl^ (a, + a^) = N «i«m^t + «i«À = ^m (ài + a J = N
seguono rispettivamente afl^ i^i + (s » ^ J ^ » y)^i^i + (a^ , 6^ ; a: , y)u^u^
= N . (62) Ora, la condizione perchè questa equazione abbia una soluzione sola
è, in virtà della (31) 2~(a. ,h.]x,y) r{a^ , \ ; ^ , 2/) = N , (e , A; = 1 , .
. . , 4 ; i z|= ^^ ovvero, per essere ~(a. ,h^',x,y) =~\{a. , x) + {h. , y)\ =
(a. , x) (6. , y) : 2(ai , x) {b. , y) (a^ , x) (b^ , y) = l{a.a^x + a.a^x)
{h.h^y + ò.6"^y)= N , od anche Sa.a^ò.ò^ . xy -f ^a.aj^.\ . xy + 2a.a^6.6^
. xy +- 2a.a^6.ò^ . xy = N ; e questa è soddisfatta identicamente in virtù,
della (49). - 88 — Rammentando quanto si è detto nel n.^ 28 in ordine ai valori
delle incognite che risolvono un'equazione provvista di una soluzione sola, si
ha pei valori di w^ , u^ che soddisfanno alla (62) le espressioni segu. ; (63)
epperò, siccome, per tutti i valori dell'indice /, da 1 a 4, si ha -(a. ,b^]x,
y)={u. , x) {h. , y)=afi. . xy+afi. . xy+a.b. . xy + afi. . xy (a. , b. :x,y) =
{a. + b.) xy + {a. + ò .) xy + (a . + b.) xy + (a . -f b.) xy , se si scrivono
le (53) nella forma Mj = (x^xy -f fltgjjy -}- «gay -f- a^xy '^2 = ?^xy + p,xy +
p3xy + p^xy (54) si avranno, fra le a^ , . . . , a^ , p^ , . . . , P^^ e le a,
, . . . , ^4 ? ^i » • • • r ^4 » 1® relazioni seguenti «1 = K + ^) K + \) =
a,6, + «A «2 = («3 + ^3) («4 + **) = «1^1 + «2^2 «3 = («3 + ^) («4 + h) = «1^1
+ «2^2 «i = ^«3 + ^3) («4 + ^4) = a,^ + aÀ l / (65) Pi = («2 + ^) («4 + b^) =
ttjò, + ajò, P2 = («2 + ^) («4 + ^4) = «1^ + «3^ P3 = («2 + ^2) K + K) = ~^i\ +
«3^ Pi = (^'a + ^2) («4 + ^4) = «1^1 + «8^ Il Sig. WiiiTEHKAi) ha chiamato
sostituzione l'assieme delle due re- lazioni (39) quanio è soddisfatta la
condizione (61), cioè quando sono possibili le relazioni inverse (53), che
allora costituiscono la sostituzione inversa della data. Con le formule (65) da
una data sostituzione [la (39jJ si passa alla inversa [la (54)]. Indicata con
t§ una data sostituzione, con tB~* si indicherà la so- stituzione inversa ;
trasformare con tB le x , y nelle Wj , Uj , e poi tra- sformare le Wj , Wj con
t§~* equivale a ritornare alle x ,y ^ vale a dire, a lasciare invariate le x , y.
Chiamando, perciò, prodotto t?,t§j| di due soatHuaioni t^i^t^^r ^^ ^^
dìr&nrìo fcUtorij Toperasione che cotisiste nel cambiare dapprima i due
termini logici a; , ^ nei termini logici x^ , y^ per messo di tS, j e poi x^ ^
y^ in x^ , y^ per mezzo di t?, , operazione che^ evidentemente ò, a sua volta,
una sostituzione, si chiama bosH- iu9Ùme identica il prodotto tStS~^. Tutte le
sostituzioni formano, cosi, quando vi ai include la sostituzione identica, una
classe tale che il prodotto di due individui della classe è ancora un individuo
della stessa classe; vale a dire (vista pure la proprietà cumcicUiva del prodotto:
Le eoatituzioni formano un gruppo. Se si indica con t§* la sostituzione t§t§,
con t?' la t3*t§, etc. con la ©** la t§**~*t?, per un certo valore di m la
tS"* coincide con la sostituzione identica. Giacché, dai simboli logici
che figurano in t^, come costanti, si passa a quelli che, come tali, figurano
in t^, per n qualunque, per mezzo delle operazioni di somma e di
moltiplicazione logica che non introducono nuovi simboli logici. Epperò, dopo
un numero finito di tali operazioni, si dove tornare alle costanti di partenza.
//€ sostituzioni neW Algebra della Logica, sono, dunque, tutte periodichr (cfr.
Whitehbad, Memoria cit., part. II, § 3). § X. li problema generale di Booie.
Metodo simmetrico di Schroder per risolvere le equazioni logiche. 30. Problema
A Btole *\ Allorché è data una funzione logica di più variabili a? , y , . . .
, ^ r{pD,y,...,tì (1) se si lasciano arbitrarie le a; , y , . . . , ^ , i
valori della f sono quelli del dominio che si estende dal prodotto alla somma
dei discriminanti della /(prop. 33.*). Ora, se in qualche modo si impongoQO
alle a?, !/>..•, 8. A. Dkl Rb " Algebra della Logica. 12 - 00 — di una
funzione logica V imporre alle variabili da cui la funzione dipende certe
deterraìnale condizioni. Le condizioni da imporre alle Xyy,>..,t nell'algebra
che studiamo, si riducono tutte ad obbligare le variabili a soddisfare ad un
certo sistema di equazioni, poiché, quando, in vece di questo sistema, fosse
prescritto per ogai variabile un proprio dominio di estensione, si potrebbe
sempre costruire [n.** 29, b) prec] un'equazione che collegherebbe le
variabili, e che, mentre prescriverebbe per queste come dominii di estensione i
dati, le lascerebbe arbitrarie in tali dominii Si supponga perciò che le
variabili oo,y,,..,t soddisfacciano alle equazioni, tutte possibili, del sistema
9j(ir , 1/ , ... , 0=N , 92^07 , 1/ , ... , t)=N , ... , 9,(0? , 1/ , ... , 0=N
, (2) in numero di r, supponiamo. Indicando con «j , Pj , . . . , X, ; otg , Pg
, . . . , X2 ; . . . ; a^ , p^ , . . . , X,, rispettivamente i discriminanti
omonimi delle 9, , 92 , . • . » 9^ » ^ ponendo a = 2a, , p = 2p,, , ... , X =
2X, , (3) al sistema (2) è possibile sostituire l'unica equazione 9 (a? , i/ ,
. . . , = ^^y " ' t -\- ^^-^y . . . ^ + . . . + ^J^ . . . 7 , (4) ed il
problema di cercare come si restringe il dominio di estensione della f{x ,y ,.
. , ,t) vien ridotto a quello di trovare il do- [*) Ad es. , se si tratta delle
due vai'iabili ac , y per le quali siano stati assegnati rispettivamente i
dominii di estensione B^, quando^ ed x,y^...,t si trovano collegate dal sistema
delle due equazioni 9(07,1/, ...,0 = N ] Ora , se si suppone che i discriminanti
della f nelle a? , y , ... , ^, omonimi agli a , p , . . . , X , siano
rispettivamente a ,&,..., ^ , i di- scriminanti della prima delle (5)
saranno le funzioni prime ap -\- ap , hp -\-l)p , .,., Ip +7/; , e quelli del
sistema (5) le espressioni »-[■ ap + ap = (a'\- a)p + (a -f a)p ^^ì)p+hp = (^ +
b)p -f (p + &)p (6) X + /!> + /p =(X + /)i> + (X -{- l)p sicché la
condizione per la possibilità di un tal sistema, cioè la condizione perchè p
rappresenti valori della f{x ,y f. ..yt) cor- rispondenti a valori della ;r ,
t/ , . . . , soddisfacenti al sistema
proposto, vede espressa dall' uguagliare ad N il prodotto dei -secondi membri
delle (6). Si ha dunque per i? l'equazione (a + à)(p-f-&)...(X + ÒP + (a +
a)(P + &)...(X j l)p = ìi ; e questa mostra che il dominio di estensione
della p è (a + a) (p + &)... (X 4- , + 6rfM,= (a + e) (m, -j- bdu^) xy + xy
= x = {o + rf)w, + aòù^ = {c + d) (w, + oòw,) ; (14) asy + ajy = y = (6 + T{oc , y) = kxy + ^xy -f- Cxy + \)xy = N (15)
la data equazione, e proponiamoci di soddisfare ad essa per mezzo di valori
delle x , y dati dalle formole X = a^uv + a^uo -\- a.^v + a,;av y = })^x>
■\- b^uv -\- h^uv -f- b^uv dove u , 'V sono termini arbitrarli, ed
indipendenti. (16) --Go- la virtù di quanto si è detto nel n.® 29, b), le cD,y
date dalle (15) sono legate dairequazione Ìl(ài'\-b,)ayy
\-n{à,+b,)a^+n(a,+b,)xy , (17) se dunque si scelgano le a, , a, , flj , a* ,
&, , &, , &8 , b^ in guisa che i coefHcienti della (17) siano
rispettivamente eguali a quelli della equazione data (15), cioè in guisa che
sia (18) a fi, + a fi, + afi^ + a fi, = À afi, + afi^ + afi^ + afi, = B f O'fii
+ «A + ^«^ + «A = ^ a fi, + «A + afi^ + a fi, = D saranno le (16) la soluzione
dell'equazione (15).- Le (16) sostituite nella (15), a riduzioni eseguite,
danno f(a, , b,)uv\-f{a^ , /;,)t«i?+Aa,
, b^)uv\'f{a, , 6Jwt5=N , (19) e perchè questa sia soddisfatta qualunque siano
le w , v occorre che sia f(a, , &,)=N , Aa, , &,)=N , f(a, , «^,)=N ,
fia, , ^)==N . (20) Ora, quando sono verificate le (18), le (20) lo sono
egualmen- te, poiché dalle (18) si deducono le (21) kafi, + AaA + A^s^s + Afl A
= N B«. A + Ka A + BaÀ + Ba/, = N Càfi, + Ca A + ^fi^ + Ca4&4 = N Da fi, 4-
Daj/7, + Dafi^ + Da fi, = N e da questa per* somma na, , b,) + Aa, , b^) + Aa,
, b,) + /*(«, , ^) = N . (22) Abbiamo in ciò una pruova che le (16)
rappresentano la solu- zione generale dell'equazione (15) subordinatamente alle
condizioni (18) ed altresì all'informazione che a,yb,\ a^,b^ ',a^fb^ ; ^4,^4
sono quattro soluzioni particolari della stessa equazione. Non per ogni
quaterna di soluzioni particolari dell'equazione sono soddisfatte le (18);
giacché, supposte le (20), queste danno AaA=N , BaÀ = N , CàA = N , DàÀ = N
{^=1,...,4), e quindi pure aA ,=-C , SaÀ = D ; cioè appunto le [Il nostro
problema della ricerca della soluzione generale rappresentabile con le formole
della equazione, è dunque ridotto a quello della ricerca di una soluzione sola
per ciascuno dei 4 gruppi di equazioni /'(iP,2/)=N ) /•(^,2/)=N; Aiz?.y)=N 1
Aa?,y)=N ) _ (24) _ _ (25) , _ (26) — - (27) xy=^k 1 xy==Q j xy=C ] a?i/=D ]
Siccome i discriminanti delle seconde equazioni dei vari gruppi sono
rispettivamente A,À,À,À;B,B,B,B;C,C,C,C;D,D,D,D, cosi, al posto di tali gruppi
vanno considerate le equazioni, iso- \ — or- latamente prese Aa;i/ + (B4-À)a;j/
+ (C + À)^j/ + (D + À)afyB=N (24) (A + B)a7V + ft»i)+(C + B)^l/ + (D + B)^ = N
(25) (A + C)(Bv + (B + C)a-y + Cxy+(D + C)xy = i:i (26) (A + D)iPj/ + (B + 5)a^
+ (C + D)^ -f-D^=N (27) le quali , per essere ABCD = N , sono tutte possibili.
Poiché queste equazioni sono palesamente limitate, trasformiamole in equazioni
illimitate. Eseguendo il calcolo per la sola prima, dovremo porre nella (24)
(28.) ar=(A+B)I,-KA+CD)X, a^=ABX,4-A(C+D)X, j/==(À+C)|»,+(À+BD)|I, '
i;=AC|x.+A(B4-Ì)K ove Xj,|i, sono termini arbitrarli; avremo
A{(À+BC)X,|t,+ÀX,ii, +ÀX,,i, + À.X,ii.l4- +(B+À)|ABC . X,|i,,+Am,ii[,
+ACDX,|i,,+ABCD . X.ji,)+ +(C+À){ACB . X.ji.-f-ABDXjjI.+AC . X,|i,+ARDC .
X,ii,H- +(D+À)|ABC . X,|t,-|-ABDX,p.+ACr)X,ji,+A(f) f BC)X,|i,J=0 ; ovvero,
fatte le riduzioni: ABC . X,fi, + DABCX.jI, = N . (24') In modo analogo,
trasformando le (25), (26), (27), si hanno ri- spettivamente le BAD . X.|i, +
CBÀDX^. = N (25') CAD . X,|i, -1- BCÀDXjI, = N (26') DBC . Xji^ 4- ADBCXaT» = N
(27') ove Xj , |i, ; X, , (1,, ; X^ , ja^ sono termini arbitrarli, sottoposti alla
sola condizione di soddisfare a queste equazioni. Scrivendo le espressioni
delle 0B,y, analoghe, con le quali si passa alle ^i=N,fi.,=A ; X2=B,jji2=C ;
X3=B,;i.3=(3 ; X,=D,|i^=N , — 99 — e quindi un'altra forma di soluzione
generale dell'equazione, quella data dalle formule x= (A + CD)wy + (B + QXy)ui
+ C(B + D)wì; + CDwr ì/ == (A + G)uv + B(C + \y)ux) + (C + BD)^!; + D(À + G)ùv.
Se si osserva che quando le m , v , x sono legate dalla 1.^ delle (16), il dominio
di estensione di y quale è dato dalla 2.* di queste formule, calcolato con la
regola data nel n.° 80, b) si estende da un minimo rappresentato dal prodotto
delle espressioni a^x + ttjX + ^1 = («1 + ^i)^ + («1 + ^i)^ a^x + a,x + 6, =
(a, -f 6,)x -f (a, + 6,)x a,x + a,x + 6, = (a, + 6,)x + (a, + 63)x ad un
massimo rappresentato dalla somma cioè, rispettivamente, da n(o'^. -|- 6^.) . X
-[- n (a^. -f- 6^ . X , 2 aJb^ . x + 2 a^A^ . x. Si trova che un tal dominio è
quello stesso che ha la y considerata quale incognita soddisfacente alla
equazione (15), se [n.^ 26, d), pag. 68] n(a, + 6^ = B , n(a. + 6,) = D , 2a.A,
= A , Zàfi, = C ; vale a dire se sono soddisfatte le (18). Si arriva cosi a
queste condizioni nel modo stesso che si trova seguito da Whitehead. Cosi può
giustificarsi pure perchè il metodo di Schrodbr, che, come risulta dalla
esposizione fattane, è indipendente dal problema di Boole, si trova qui presentato
dopo della soluzione di questo problema. Il metodo precedente si può estendere
ad una equazione con un numero qualunque di variabili, che supporremo scritta,
in forma normale, nella maniera seguente f(x , y , . . . , = Aooyz . ,,t +
Bocyz . . . ^ + . . . + K^l^ . . . ^ ; (30) sicché ne sono a,b ,c , , . , yh i
discriminanti. Supponiamo di volere soddisfare alla equazione con valori della
— 100 — forma X =s a^uvw . . . T + d^vw . . . T + . . . + QJ^'cw . . .
T \ y = b^umo . . . T + b^uvw . . . T + . . • + h^uvw . . . T f t = k^UVW . . .
T + h^UVW . . . T + . . . + hJULVW . . . T (31) ove w , t? , t^? , . . . , T sono termini logici
arbitrarii ed è |ji = 2** ; bisogna, fatta l’eliminazione delle te, i; , ... ,
t da quest'espressioni, che l'equazione in ^ , 2/ , . . . , ^ risultante, sia
identica alla equazione proposta. Ora, poiché i discriminanti del sistema delle
(31) , considerate come relazioni in w , i^ , ... , t sono, per 1 = 1, 2, . . .
w. _ _ («i,a7)-f(&,,2/) + --- + (AtJ) ; così l'equazione cui soddisfanno le
x,y,...,t date dalle (31) sarà S(a,,a?)(6,,i/)...(/2,,0 = T ; ovvero lapfii ...
hi . xyz... t-\- ^apf^ ...h^. xyz.,. ^-f - +Sa,^^c,- ... ^^ . (vyz„.ì=T ; e
questa equazione coincide con la proposta, se uJOaC^ ... fit ""p
Cl^O^C^ ... rJj ~j— ... ~p" ^nPttyn^ ... n>^ ^— A. ttàO^Cà ... ria
"X* C»|L/jC| ... rtji ""Y" ... ~p* dfx Ut Uf • • • JA
"^ > . (32) 111 • * • ^i i" CtJDuC^ ... /vj ~j~ ... "Y*
^lìPtx u» • • • ^ui — xV. Ora, per soddisfare a queste relazioni , con valori
delle a^. ,&^, ^i , . . • , ^i > basterà prendere queste, per modo che
siano soddisfatte le seguenti relazioni dtO^C^ • • • Ht — ^ Jx. , CL^O^C^ ...
/vj ^, JD , . . * , Cu^O^C^ ... /vj ^^ xv CL^O^C^ ... ^j ^^ A , (Z^O^O^ • • •
^j — * ìj , . . • , Clt^O^C^ ... ^j ^^ Jl\. ' . (33) poiché, sommando queste
per colonne si deducono appunto le — 101 — (32); ed inversamente. Alle (33) si
possono sostituire le ka^hyC^ ... /Ji = N , Ba,&iC, ... /^^ = N , ... ,
KaJ)fi^ ,..li^ = N Aajì^c^ ... /{, = N , Ba,&,c, ... 7e, = N , ... ,
Ka,&,c, ...\ = N ; (34) e queste, sommate per orizzontali, danno Queste si
ottengono pure se si fanno le sostituzioni (31) nella (30) e poi si esprime che
l'equazione risultante deve essere soddisfatta indipendentemente dalle w , ^ ,
... , t ; perciò le a^,b^, ... , h^ ; ag,&j,...,^j ;... ;aj^,&^,...
,ftjj^ sono, rispettivamente, soluzioni dei sistemi di equazioni - (35,), _ _
(35,),..., -_ - - ; (35^) xy ... t =A ] xy ,.,t =B ) xy ... t =K j ovvero delle
equazioni, equivalenti a tali sistemi, kooy... ^ + (B + K)xy... ^ -f ... + (K +
À)a72/...7 = N (A + Wjxy ... t + Bxy.,. ^ +... + (K + B)i^... ì= N , (36) (A +
K)xy ... ^ + (B + ^)xy ... ^ +
... + KiT^... F= N tutte le volte che le (31) soddisfanno alla (30)
indipendentemente dalle w , i; , . . . , T. Indichiamo con V^^Q^
rispettivamente il prodotto dei discri- minanti positivi ed il prodotto dei
discriminanti negativi rispetto ad X, nella prima delle (36) , con P^ , Qy i
prodotti analoghi ri- spetto ad 2/, e così successivamente, con P,,Qj i
prodotti ana- loghi rispetto a t ; per mezzo delle relazioni X = V^u^ 4- Q^w, ,
y = V^u^ + QyU^ , ... , t = V,u^ + Q,^^ , (37) la prima delle (36) verrà
trasformata in una equazione illimi- tata rispetto alle t^j , tt, , . . . , t*^
. — In modo analogo verranno — 102 — trasformate in equazioni illimitate tutte
le rimanenti equazioni (36); ed allora, per mezzo di gruppi particolari di
soluzioni di tali equazioni illimitate in u^,u^,, . . ^u^ e per mezzo delle re-
lazioni (37) e delle analoghe non scritte , si troverà , come si è fatto pel
caso di n = 2, la forma che assumono le (31) allorché rappresentano una
soluzione generale dell'equazione proposta. (Cominciato a stampare il dì 12
Ottobre 1906, Terminato il dì 15 Gennaio 1907), ERRATA-CORRIGE A pag. 12,
penultimo verso, in luogo di «(6), (7)» leggi «(5), (^6)» A pag. 19, verso 6.®,
in luogo di «§ I», leggi «§ II». A pag. ì>7, sestultimo verso, a pag. 43
(l.*^, 4.°, ultimo verso della Nota) ed a pag. 64, verso G.^ della prop. 33.%
in luogo di « AVi- THEAD leggi « WniTBHEAD ». A pag. 76, verso 2.°, prima del
segno =, in luogo di « a; »' leggi « x ». A pag. 80, verso 4.°, in luogo di
«soluzioni» leggi «equazioni». A pag. 83 , ultimo verso, cambia le due A in due
B. A pag. 94 , verso 6.°, togli « (12) » dopo la parola « relazioni ». Come
comincia ogni conoscenza capace di deduttivo trattamento — Consi- stenza,
compatibilità, indipendenza di postulati — No- zione di classe e di relazione —
Calcolo di classi o di proposizioni e calcolo delle relazioni. Come qui si in-
tende svolta l'Algebra della logica ....... » 1-5 § II. Primo sistema di
postulati e concreta interpreta- zione di essi. — Addizione e moltiplicazione
logica — Il tutto, il nulla — Leggi commutative — Legge asso- ciativa per
l'addizione — Legge distributiva della mol- tiplicazione rispetto all'addizione
— Legge dell'unità. . » 5-8 § IH. Proposizioni fondamentali. — Termine supplementare
di un termine dato — Legge del medio escluso —Legge di semplicità o di
tautologia — Leggi di assorbimento — Legge distributiva dell'addizione rispetto
alla moltipli- cazione — Formule di De Moruan — Legge associativa della
moltiplicazione » 8-16 § IV. Legge di reciprocità di Peirce e Schroder— Enun-
ciazione della legge — Osservazioni — Secondo sistema di postulati » 16-20 § V.
Le inclusioni logiche — Delìnizioni ed uguaglianze co- me equivalenti ad
inclusioni — Operazioni sulle inclu- sioni — Legge di contrapposizione —
Osservazioni — Altre proposizioni — Teorema di Poretsky — Esercizi . » 20-28 §
YI. Le funzioni logiche. I loro sviluppi. I loro discri- minanti. — Definizioni
— Sviluppi di Boole e sviluppi reciproci — I minima ed i maxima di un discorso
in n termini — Osservazioni — Proprietà dei discriminanti e delle funzioni
sviluppate — Valori e dominio di esten- sione di una funzione logica — Esempii
» 28-41 — 104 — » 61-71 § VII. Le equazioni logiche — l loro sistemi —
Definizio- ni — Equazioni logiche equivalenti — Discriminante di equazioni e di
inclusioni — Condizione per la possibi- lità di una equazione logica o di una
inclusione — Si- stemi di equazioni — Sistemi di inclusioni — Esercizii^ esempi
pag. 41-51 § Vili. Il processo di eliminazione— Le risultanti. — Il processo di
eliminazione come equivalente a quello che PoRBTSKY chiama problema delle
conseguenze — Teorema di ScHRODER, e conseguenza per la possibilità di un'e-
quazione logica — Nozioni complementari sul dominio di estensione di una
funzione logica — Esercizio — Equa- zioni limitate ed equazioni illimitate —
Eserapii — Do- minii di estensione per le incognite che verificano una
equazione, ed esempii — Caso di un sistema di equa- zioni , ed esempio — Come
si restringe il dominio di estensione di unMncognita per un valore assegnato,
nel proprio dominio di estensione, ad un'altra incognita — Esempio
corrispondente — Osservazione § IX. La risoluzione delle equazioni logiche. —
Procedi- mento generale — Trasformazione di equazioni limitate in equazioni
illimitate — Soluzione delle equazioni con una incognita e delle equazioni con
due incognite — Verifica — Soluzione di un problema di Jonhson — Equa- zioni
con tre incognite — Metodo di Jonhson per la so- luzione delle equazioni con un
numero qualunque di incognite, limitato al caso di due sole — Equazioni con una
sola soluzione — Funzioni w'** lineari prime e sepa- rabili prime (Whitbhead) —
Il problema inverso della soluzione delle equazioni — Le sostituzioni. Il
problema generale di Boole •— Metodo simmetrico di Scbrdder per risolvere le
equazioni logiche — In che consiste il problema più. generale di Boole per
l'Algebra della Logica, e soluzione di questo problema — Esempio— Come
un'equazione condiziona i minima d'un discorso in n termini — Metodo di
Schrodbr per la soluzione delle equazioni logiche. Insegnamento di Geometria
descrittiva nella Università di Napoli. Fascicolo stampato per uso degli
studenti. Coutiene : oc) Il programma del corso ed il programma di esame per
Tanno 1906-1907. P) L'elenco dei modelli geometrici donati dal prof. A. Del Re.
Y) L'elenco dei modelli geometrici eseguiti dagli studenti nel pe- riodo
1901-1906. d) L' elenco dei modelli geometrici acquistati dal prof. A. Del Re
sui fondi assegnati alla sua scuola. L' indice dettagliato delle materie
contenute nelle Lezioni di Geometria Descrittiva. La Astàttca e le sue
rappresentazioni prospettiche -- presentata alla R. Accad. di Napoli , ed
inserita nei Rendiconti della medesima. Alfonso de Re. Keywords: implicatura.
Luigi Speranza, “Grice e Re”. Re.
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